Поиск по базе сайта:
Эквивалентные деформированные состояния icon

Эквивалентные деформированные состояния




Скачати 88.49 Kb.
НазваЭквивалентные деформированные состояния
Дата конвертації12.02.2013
Розмір88.49 Kb.
ТипДокументи



Рис. 4.5-2. Эквивалентные деформированные состояния

Для каждого деформированного состояния допускается поведение материала как полностью несжимаемого, в этом случае третий главный инвариант I3 тождественно равен единице:

12 22 32 = 1. (4.5-18)

И, наконец, выражение для гиперупругого тензора напряжений Piolla-Kirchoff (уравнение 4.4-1) можно использовать для получения компонент тензора истинных напряжений Коши. Можно показать, что с помощью инвариантов правого тензора деформаций Коши-Грина компоненты тензора напряжений представляются следующим образом:

ij = -p ij + 2 W / I1 Cij - 2 W / I2 Cij-1, (4.5-19)

где p - давление.


^ Одноосное растяжение (эквивалентное равнодвухосному сжатию)

На Рис. 4.5-1 показан образец из гиперупругого материала, нагружаемый вдоль одной из осей при одноосных испытаниях на растяжение. При этом главные коэффициенты удлинений в направлениях, ортогональных к “растягиваемой” оси, долны быть одинаковыми. Итак, при одноосном растяжении коэффициенты удлинений i представляются следующим образом:

1 - в направлении приложенной нагрузки, (4.5-20)

2 = 3 - в направлениях, где нагрузка не прикладывается. (4.5-21)

В силу несжимаемости материала (уравнение (4.5-18)):

2 3 =1-1. (4.5-22)

При этом выполняется соотношение (см. уравнением (4.5-21))

2 = 3 = 1-1/2 . (4.5-23)

Таким образом, для одноосного растяжения первые и вторые инварианты тензора деформаций принимают вид:

I1 = 12 + 2 1-1 (4.5-24)

и

I2 = 2 1 + 1-2 . (4.5-25)

Подставляя значения коэффициентов удлинений при одноосном растяжении в уравнение для напряжений Коши (4.5-19), получим следующие выражения для напряжений в направлениях 1 и 2:

11 = -p + 2 W / I1 12 - 2 W / I2 1-2 (4.5-26)

и

22 = -p + 2 W / I1 1-1 - 2 W / I2 1. (4.5-27)

Вычитая уравнение (4.5-27) из уравнения (4.5-26), получим главные истинные напряжения при одноосном растяжении в следующем виде:

11 = 2 (12 - 1-1) [W / I1 + 1-1 W / I2]. (4.5-28)


Равнодвухосное растяжение (эквивалентное одноосному жатию)

При равнодвухосном растяжении гиперупругий образец одинаково нагружен по двум осям, как показано на Рис. 4.5-1. В этом случае главные коэффициенты удлинений в направлениях приложения нагрузки одинаковы. Таким обрахом, для равнодвухосного растяжения коэффициенты удлинений i представляются следующим образом:

1 = 2 - в направлении приложения нагрузки, (4.5-29)

3 - в направлении, где нагрузка не прикладывается. (4.5-30)

В случае несжимаемого материала (уравнение (4.5-18)):

3 =1-2. (4.5-31)

Для равнодвухосного растяжения первые и вторые инварианты деформации:

I1 = 2 12 + 2 1-4 (4.5-32)

и

I2 = 2 14 + 1-2 . (4.5-33)

Подставляя значения коэффициентов удлинений при равнодвухосном растяжении в уравнение для напряжений Коши (4.5-19), получим следующие выражения для напряжений в направлениях 1 и 3:

11 = -p + 2 W / I1 12 - 2 W / I2 1-2 (4.5-34)

и

33 = -p + 2 W / I1 1-4 - 2 W / I2 14 = 0. (4.5-35)

Вычитая уравнение (4.5-34) из уравнения (4.5-35), получим главные истинные напряжения для равнодвухосного растяжения:

11 = 2 (12 - 1-4) [W / I1 + 12 W / I2]. (4.5-36)


Чистый сдвиг (растяжение и сжатие в плоскости)

Эксперименты по чистому сдвигу гиперупругого материала выполняются в основном нагружением тонких, коротких и широких прямоугольных образцов, как показано на Рис. 4.5-1. В случае чистого сдвига предполагается, что отсутствуют деформации в направлении“ширины”: 2 = 1.

В случае несжимаемого материала (уравнение (4.5-18)):

3 =1-1. (4.5-37)

Для чистого сдвига первые и вторые инварианты деформации:

I1 = 12 + 1-2 +1 (4.5-38)

и

I2 = 12 + 1-2 +1. (4.5-39)

Подставляя значения коэффициентов удлинений при чистом сдвиге в уравнение для напряжений Коши (4.5-19), получим следующие выражения для напряжений в направлениях 1 и 3:

11 = -p + 2 W / I1 12 - 2 W / I2 1-2 (4.5-40)

и

33 = -p + 2 W / I1 12 - 2 W / I2 1-2 = 0. (4.5-41)

Вычитая уравнение (4.5-38) из уравнения (4.5-39), получим главные истинные напряжения для чистого сдвига:

11 = 2 (12 - 1-2) [W / I1 + W / I2]. (4.5-42)


Использование метода наименьших квадратов

Константы Муни-Ривлина могут быть определены по экспериментальным данным “напряжения-деформация” из уравнений (4.5-28), (4.5-36) и (4.5-42) методом наименьших квадратов. Коротко говоря, это сводится (с использованием программы ANSYS) к минимизации суммы квадратов ошибок между экспериментальными значениями напряжений и найденными расчетным путем в качестве напряжений Коши. Сумма квадратов ошибок вычисляется по формуле:




n







E2 =




(i - ^i (aij))2,

(4.5-43)




i=1







где Е - относительная ошибка,

i – экспериментальные значения напряжений,

^i (aij) - значения напряжений Коши (функция констант Муни-Ривлина),

n - число экспериментальных точек.

Уравнение (4.5-43) минимизируется установкой вариации квадрата ошибки, равной нулю: E2 = 0. Это приводит к системе однородных уравнений, которые используются для нахождения констант Mуни-Ривлина:

E2 / a10 = 0,

E2 / a01 = 0 … и т.д. (4.5-44)

Следует заметить, что константы Муни-Ривлина для чистого сдвига не могут быть однозначно определены из уравнения (4.5-42). В этом случае данные по сдвигу должны быть дополнены экспериментальными данными для. других видов испытаний.


_____________________________________________


4-
Hyperelasticity





Схожі:




База даних захищена авторським правом ©lib.exdat.com
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації