Поиск по базе сайта:
4 Введение Гиперупругость характеризует поведение материалов, которые могут испытывать полностью обратимые конечные упругие деформации. icon

4 Введение Гиперупругость характеризует поведение материалов, которые могут испытывать полностью обратимые конечные упругие деформации.




Скачати 98.36 Kb.
Назва4 Введение Гиперупругость характеризует поведение материалов, которые могут испытывать полностью обратимые конечные упругие деформации.
Дата конвертації12.02.2013
Розмір98.36 Kb.
ТипДокументи

4.5. Гиперупругость

4.5.1. Введение

Гиперупругость характеризует поведение материалов, которые могут испытывать полностью обратимые конечные упругие деформации. К таким материалам относятся резины и многие другие полимерные материалы. Напряжения в них обычно являются функцией плотности энергии деформирования. В программе ANSYS предусмотрены два варианта описания поведения гиперупругих материалов. Модель Муни-Ривлина (команда *MOONEY или TBDATA с опцией TB,MOONEY) используется для несжимаемых материалов. Модель Блатц-Ко (KEYOPT(2)=1 для конечных элементов HYPER84 и HYPER86) используется для сжимаемых вспененных или им подобным материалам. В таблице 4.0-1 приведены элементы, для которых реализована модель гиперупругого поведения Муни-Ривлина. Основные параметры этих элементов приведены в разделах 14.58 и 14.86. В данном разделе для удобства используется тензорная символика.


^ 4.5.2 Теоретическое описание гиперупругости

Материал считается гиперупругим, если существует функция упругого потенциала W (или функция плотности энергии деформации), которая является скалярной функцией тензора деформации или тензора перемещения, производная которой по компонентам деформации определяет соответствующий компонент напряжения. Выражение может иметь вид:

Sij = W / Eij  2 W / Cij , (4.5-1)

где Sij – компоненты второго тензора напряжений Piola-Kirchhoff,

W – функция энергии деформации на единицу недеформированного объема,

Eij – компоненты тензора деформации Лагранжа,

Cij – компоненты правого тензора деформации Коши-Грина.

Деформации Лагранжа определяются следующим образом:

Eij = 0.5 (Cij - ij) , (4.5-2)

где ij = 1.0 при i = j и ij = 0.0 при i  j.

Тензор деформаций Cij определяется произведением градиентов деформации fij:

Cij = fik fkj, (4.5-3)

где fij = Xi / xi

Xi – недеформированное положение точки в направлении i,

xi = Xi + ui – деформированное положение точки в направлении i,

ui – перемещение точки в направлении i.

Теория, используемая для семейства гиперупругих конечных элементов, применима только для изотропных материалов. При этом, однако, никаких ограничений на величину деформаций не накладывается, а результаты не зависят от пути нагружения.


^ 4.5.3 Определяющие соотношения

Формулировка элементов HYPER84 и HYPER86 предполагает использование функционалов энергии как Муни-Ривлина, так и Блатц-Ко, а элементов HYPER56, HYPER58, HYPER74, HYPER158 и SHELL181 - только функционал энергии Муни-Ривлина.

Определяющее соотношение Муни-Ривлина представляет собой разумную модель поведениядля некоторых почти несжимаемых натуральных резиноподобных материалов (Rivlin [89], Mooney [91]). Функция плотности энергии деформаций Муни-Ривлина, реализованная для элементов HYPER84 и HYPER86, имеет следующее выражение:

W = a10 (I*1 – 3) + a01 (I*2 – 3) +  (I*23 – I*-23)2, (4.5-4)

где I*i - редуцированные инварианты деформации в i-ом направлении, заданные следующим образом:

I*1 = I1 I3-1/3

I*2 = I2 I3-1/3

I*3 = I31/2

a10, a01 – константы Муни-Ривлина для материала (вводятся командой TBDATA с опцией TB,MOONEY);

 =


(1 + )




a10 + a01




(1 – 2)




24

- коэффициент Пуассона (вводится как параметр PRXY или NUXY командой МР, должен быть < 0.50);

Ii - инварианты правого тензора деформации Коши-Грина Cij:

I1 = Cii (4.5-5)

I2 = Ѕ (I12 - Cij Cij) (4.5-6)

I3 = det Cij - коэффициент изменения объема. (4.5-7)

Заметим, что для малых деформаций выражение 2(a10 + a01) представляет собой модуль сдвига, а выражение 6(a10 + a01) - модуль Юнга.

Для элементов HYPER56, HYPER58, HYPER74, HYPER158 и SHELL181 доступны модели Mooney-Rivlin с двумя, пятью и девятью параметрами. Функция плотности энергии деформации для этих элементов дана в полиномиальной форме:




N








W =




akl (I*1 – 3)k (I*2 – 3)l + 0.5  (I*3 – 1)2,

(4.5-8)




 + l = 1







где akl - константы кубического выражения Муни-Ривлина с девятью параметрами (задаются опцией TB,MOONEY команды TBDATA или *MOONEY с вводом экспериментальных данных в поле STRS и поле STRN);

 = 2(a10 + a01) / (1 - 2) - объемный модуль.

Если подставить в уравнение (4.5-8) N = 1, получим функцию плотности энергии деформации для двухпараметрической модели Муни-Ривлина:

W = a10 (I*1 – 3) + a01 (I*2 – 3) + Ѕ  (I*3 – 1)2. (4.5-9)

Аналогично, подставляя в уравнении (4.5-8) N = 2 и N = 3, получим аналогичные функции плотности энергии деформаций для модели Муни-Ривлина с пятью параметрами (уравнение (4.5-10)) и девятью параметрами (уравнение (4.5-11)):

W = a10 (I*1 – 3) + a01 (I*2 – 3) + a20 (I*1 – 3)2 + a11 (I*1 – 3) (I*2 – 3) + + a02 (I*2 – 3)2 + Ѕ  (I*3 – 1)2,

(4.5-10)



W = a10 (I*1 – 3) + a01 (I*2 – 3) + a20 (I*1 – 3)2 + a11 (I*1 – 3) (I*2 – 3) +

+ a02 (I*2 – 3)2 + a30 (I*1 – 3)2 + a21 (I*1 – 3) (I*2 – 3) +

+ a12 (I*1 – 3) (I*2 – 3)2 + a03 (I*2 – 3)3 + Ѕ  (I*3 – 1)2.


(4.5-11)

Заметим, что последний компонент в уравнениях (4.5-8) … (4.5-11) всегда представляет собой работу объемного деформирования. Для элемента SHELL181 принудительно задается несжимаемость, если значение  равно или почти равно 0.5.

Модель Блатц-Ко используется для сжимаемых вспененных полиуритановых резиноподобных материалов (Kao [90], Blatz [92]). Плотность энергии деформации в модели Блатц-Ко для элементов HYPER84 и HYPER86 вычисляется следующим образом:

W = G / 2 (I2/I3 + 2I3 – 5), (4.5-12)

где G = E / [2(1 + )],

E - модуль Юнга (вводится как параметр ЕХ командой МР).


^ 4.5.4 Выходные величины

Напряжения (выходные величины S) являются истинными напряжениями (напряжениями Коши) в координатной системе элемента. Они вычисляются по значениям вторых напряжений Piola - Kirchoff:

ij = /0 fik Skl fjl = 1/I3 fik Skl fjl, (4.5-13)

где , 0 - массовая плотность текущего и начального состояний..

Деформации (выходные величины EPEL) являются деформациями Генки (логарифмическими), см. уравнение (3.1-6). Они также относятся к системе координат элемента.


^ 4.5.5 Определение констант гиперупругого материала

Константы гиперупругости в выражении для функции плотности энергии деформаций материала определяют его механическое поведение. Поэтому для получения надежных результатов при анализе гиперупругих расчетных моделей необходима правильная оценка констант Муни-Ривлина для исследуемых материалов. Эти константы в основном определяются на основе экспериментальных данных “напряжения–деформации”. Рекомендуется брать экспериментальные данные для нескольких видов деформирования в широкой области значений деформаций. Фактически установлено, что для достижения стабильных значений констант должны быть рассмотрены данные испытаний для такого числа напряженно-деформированных состояний материала, какое ожидается при проведении численного анализа.

Для гиперупругих материалов верные значения констант Муни-Ривлина можно получить с помощью простых экспериментов. Эти константы в программе ANSYS определяются с помощью команды *MOONEY. Поле LTYPE команды *MOONEY управляет типом (типами) уравнений гиперупругости, которые используются для вычисления констант Муни-Ривлина. Заметим, что независимо от значения LTYPE для определения констант гиперупругости будут использоваться все доступные экспериментальные данные. Выбор опции LTYPE соответствует следующим шести напряженно-деформированным состояниям:

  1. Одноосное растяжение (только LTYPE = 1 или сочетание LTYPE = 6, 7 или 9).

  1. Одноосное сжатие (только LTYPE = 2 или сочетание LTYPE = 6, 8 или 9).

  1. Равнодвухосное сжатие (только LTYPE = 1 или сочетание LTYPE = 6, 7 или 9).

  1. Равнодвухосное растяжение (только LTYPE = 2 или сочетание LTYPE = 6, 8 или 9).

  1. Растяжение в плоскости (только LTYPE = 4 или 5 или сочетание LTYPE = 7, 8 или 9).

  1. Сжатие в плоскости (только LTYPE = 4 или 5 или сочетание LTYPE = 7, 8 или 9).

Каждое из этих напряженно-деформированных состояний показано на Рис. 4.5-1. Сочетание данных многократных испытаний улучшает стабильность характеристик гиперупругости материала.

Хотя в программе ANSYS допускается использование до шести различных напряженно-деформированных состояний, можно показать, что существенно разные условия нагружения приводят к идентичным деформациям и, таким образом, оказываются эквивалентными. Наложение растягивающих или сжимающих гидростатических напряжений на напряженное состояние несжимаемого тела меняет напряжения в нем, но не меняет деформаций материала. Как видно на Рис. 4.5-2, после добавления гидростатических напряжений оказываются идентичными следующие деформированные состояния:

  1. Одноосное растяжение и равнодвухосное сжатие.

  2. Одноосное сжатие и равнодвухосное растяжение.

  3. Растяжение и сжатие в плоскости.

Располагая несколькими эквивалентными способами испытаний, удалось прийти только к трем независимым деформированным состояниям, для которых можно получить экспериментальные данные.

Далее рассматриваются соотношения между гиперупругими напряжениями для каждого независимого способа испытания. Система координат выбрана таким образом, чтобы направления осей совпадали с направлениями главных деформаций. Правый тензор деформации Коши-Грина может быть записан в матричной форме:




12

0

0




[C] =

0

22

0

(4.5-14)




0

0

32




где i = 1 + i - коэффициент главного удлинения в i-ом направлении;

i - главное значение тензора инженерной деформации в i-ом направлении.


Главные инварианты Сij определяются по уравнениям (4.5-5) … (4.5-7):

I1 = 12 + 22 + 32 (4.5-15)

I2 = 1222 + 1232 + 2232 (4.5-16)

I3 = 122232 (4.5-17)



Рис. 4.5-1. Различные деформированные состояния



_____________________________________________


4-
Hyperelasticity





Схожі:




База даних захищена авторським правом ©lib.exdat.com
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації