Поиск по базе сайта:
2 Основы прочностного анализа 1 Соотношения “напряжения–деформации” icon

2 Основы прочностного анализа 1 Соотношения “напряжения–деформации”




Скачати 187.07 Kb.
Назва2 Основы прочностного анализа 1 Соотношения “напряжения–деформации”
Дата конвертації12.02.2013
Розмір187.07 Kb.
ТипДокументи

2.1. Основы прочностного анализа

2.1.1. Соотношения “напряжения–деформации”

В этом разделе рассмотрены физические соотношения для материалов с линейными свойствами. Материалам с нелинейными свойствами посвящена Глава 4. Напряжения связаны с деформациями соотношением:

{} = [D] {el}, (2.1-1)

где {} = x y z xy yz xzТ - вектор напряжений (как выходная величина помечается меткой S);

[D] – матрица упругости (описывается уравнениями (2.1-18) … (2.1-23), обратная матрица записывается в виде (2.1-4) и (2.1-5); для некоторых анизотропных элементов эта матрица вводится командами TBDATA с опцией TB,ANEL.);

{el} = {} – {th} - выходной массив EPEL;

{} = x y z xy xz yzТ - вектор полной (суммарной) деформации;

{th} – вектор температурной деформации (определяется соотношением (2.1-3), выходной массив EPTH).

Выходная величина EPEL представляет собой вектор деформаций, которые вызывают напряжения, т.е. {} – {th}.

Замечание: в постпроцессоре POST1 подобная же величина EPTO, именуемая “компонентом суммарной деформацмм (component total strain)", может использоваться для маркировки оси деформаций при построении нелинейных кривых “-”. Составляющие приведенного выше вектора полной деформации {} можно трактовать как деформации, которые измеряются соответствующим датчиком. Эти два "полных" набора деформаций отличаются наличием или отсутствием вектора температурной деформации.

Компоненты вектора напряжений показаны на Рис. 2.1-1. Для используемых в программе ANSYS напряжений и деформаций принято следующее правило знаков: величины, относящиеся к растяжению являются положительными, к сжатию - отрицательными. Компоненты сдвига считаются положительными, если их направления совпадают с направлениями соответствующих координатных осей. Деформации сдвига представляют собой инженерные деформации, а не компоненты тензора.




Рис. 2.1-1. Компоненты вектора напряжений

Уравнение (2.1-1) может быть обращено следующим образом:

{} = {th} + [D]-1 {}. (2.1-2)

Для трехмерного случая вектор температурных деформаций определяется в виде соотношения

{th} = T x y z 0 0 0 T, (2.1-3)

где x – коэффициент температурного расширения в направлении оси х (вводится в виде параметра ALPX командой МР),

T = T – TREF,

T – текущая температура в интересующей точке,

TREF – температура, при которой деформации отсутствуют (вводится командой TREF).

Матрица [D]-1, нормализованная по столбцам, имеет вид:






1/Ex

-xy/Ey

-xz/Ez

0

0

0







-yx/Ex

1/Ey

-yz/Ez

0

0

0







0

0

0

0

0

1/Gz






Если используется нормализация по сторокам, то эта матрица записывается следующим образом:




1/Ex

-*xy/Ey

-*xz/Ez

0

0

0







-*yx/Ex

1/Ey

-*yz/Ez

0

0

0







0

0

0

0

0

1/Gzx






Для записи элементов этих матриц используются обозначения:

Ex – модуль Юнга в направлении оси х (вводится как параметр ЕХ командой ^ МР),

xy – минимальный коэффициент Пуассона (вводится как параметр NUXY

командой МР),

*xy – максимальный коэффициент Пуассона (вводится как параметр PRXY

командой ^ МР),

Gxy – модуль сдвига в плоскости х-у (вводится как параметр GXY командой МР).

Матрица [D]-1 должна быть положительно определенной (см. раздел 13.5). Кроме того, эта матрица должна быть симметричной, поэтому для ортотропных материалов предполагается существование соотношений:

yx / Ex = xy / Ey

zx / Ex = xz / Ez

zy / Ey = yz / Ez

или

*yx / Ey = *xy / Ex

*zx / Ez = *xz / Ex

*zy / Ez = *yz / Ey

Согласно приведенным выше соотношениям, величины xy, zy, zx, *yx, *zy и *zx являются зависимыми и поэтому не задаются при вводе исходных данных.

Использование конкретных значений для коэффициентов Пуассона при анализе ортотропных материалов иногда приводит к затруднениям, поэтому к этому следует подходить с осторожностью. Обычно для ортотропных материалов бывают известны значения *ху, или главного коэффициента Пуассона (PRXY). Величина *ху считается главным коэффициентом Пуассона, поскольку это значение больше, чем ху, если исходить из того, что Eх превосходит Eу.

Для упрощения в остальной части этого раздела будут использоваться только параметры xy, zy, zx. Для изотропных материалов выполняются условия Eх = Ey = Ez и xy = zy = zx, поэтому ввод исходных данных не вызывает затруднений. Для ортотропных материалов требуется проверять соответствие приведенных в справочной литературе данных требуемому формату ввода.

Если переписать равенство (2.1-2) в развернутом виде, используя выражения (2.1-3), (2.1-4), а также (2.1-6) ... (2.1-8), то получим шесть уравнений:

x = x T + x /Ex - xy y / Ey - xz z / Ez (2.1-12)

y = y T + y /Ey - xy x / Ey - yz z / Ez (2.1-13)

z = z T + z /Ez - xz x / Ez - yz y / Ez (2.1-14)

xy = xy /Gxy (2.1-15)

yz = yz /Gyz (2.1-16)

xz = xz /Gxz , (2.1-17)

где x - деформация в направлении оси х,

xy - деформация сдвига в плоскости х - у,

x - напряжения в направлении оси х,

xy - напряжения сдвига в плоскости х - у;

компоненты с другими индексами получаются циклическим сдвигом (x - y- z).

С другой стороны, уравнение (2.1-1) можно переписать в развернутом виде, используя обратную матрицу (2.1-4), что вместе с уравнениями (2.1-3), (2.1-6) ... (2.1-8) дает шесть соотношений для напряжений:

x = Ex/h [1 - (yz)2 Ey/Ez] (x - x T) + Ex/h [xy + xzyz Ey/Ez] (y - y T) + Ex/h [xz + yzxy] (z - z T)



(2.1-18)

y = Ex/h [xy + xzyz Ey/Ez] (x - x T) + Ey/h [1 - (xz)2 Ex/Ez] (y - y T) + Ey/h [yz + xzxy Ex/Ey] (z - z T)


(2.1-19)



xz = Gxz xz,


(2.1-23)

в которых обозначено: h = 1 - (xy)2 Ex/Ey - (yz)2 Ey/Ez - (xz)2 Ex/Ez - 2 xy yz xz Ex/Ez.

Если модули сдвига Gxy, Gyz, Gxz не задаются при вводе, то их значения вычисляются следующим образом:

Gxy = (Ex Ey) / (Ex + Ey + 2 xy Ex) (2.1-24)

Gyz = Gxy (2.1-25)

Gxz = Gxy (2.1-26)

Такие значения используются по умолчанию и предназначены только для изотропных материалов, поэтому при задании свойств ортотропных материалов пользователь должен убедиться, что справочное пособие по свойствам материала содержит нужное значение модуля сдвига.

Матрица [D] должна быть положительно определенной. Программа проверяет значение каждого задаваемого параметра материала, чтобы гарантировать положительную определенность этой матрицы. В случае зависящих от температуры свойств материала такая проверка выполняется при одинаковой температуре (команда BFUNIF) на первом шаге нагружения. Если материал изотропный или xy, y и xz равны нулю, то матрица [D] будет всегда положительно определенной. Примером материала, нарушающим положительную определенность матрицы [D], служит материал, для которого выполняется условие Eу Eх(xy)2.


^ 2.1.2. Задание ортотропных свойств для осесимметричной модели

Преобразование параметров материала для расчетной модели, заданной в цилиндрической системе координат R--Z, в декартову систему x-у-z, в которой программой ANSYS предусмотрен ввод исходных данных, требует осторожности. Преобразование модуля Юнга выполняется однозначно, тогда как правильный способ преобразования коэффициента Пуассона не столь очевиден. Рассмотрим сначала, как преобразуется модуль Юнга из глобальной цилиндрической системы в глобальную декартову систему при использовании осесимметричных элементов для расчетной модели в виде диска:


в действительности

как осесимметричный элемент




Рис. 2.1-2. ^ Системы координат для материалов

Нетрудно видеть, что преобразование состоит в замене: ER Ex, E Ez и Ez Eу. В программе ANSYS ввод коэффициентов Пуассона, снабженных метками NUXY, NUYZ, NUXZ, осуществляется в глобальной декартовой системе координат соответственно для направлений x - y - z с помощью команды МР, после чего создается следующая согласованная матрица для нормальных напряжений, нормализованная по столбцам:




1/Ex

-xy/Ey

-xz/Ez




[Dx-y-z]-1 =

-yx/Ex

1/Ey

-yz/Ez

(2.1-27)




-zx/Ex

-zy/Ey

1/Ez




Предположив, что значения коэффициентов Пуассона в цилиндрической системе координат R - - Z можно представить подобным же образом, получим, что согласованная матрица для этого случая имеет вид (2.1-27). Если потребовать соответствия осей R - - Z осям x - y - z (то есть, x R, y Z, z ), то получим матрицу:




1/ER

-Rz/Ez

-R/E




[DR--Z]-1 =

-zR/ER

1/Ez

-z/E

(2.1-28)




-R/ER

-z/Ez

1/E




В результате поэлементного сопоставления матриц (2.1-27) и (2.1-28), можно получить следующие соотношения:

Ex = ER (2.1-29)

Ey = Ez (2.1-30)

Ez = E (2.1-31)

xy = Rz = E/Ez z (2.1-32)

yz = z (2.1-33)

xz = R (2.1-34)

Левая часть этих соотношений представляет собой входные данные (параметры NUXY, NUYZ, NUXZ), правая - преобразование этих данных с нормализацией по столбцам.

Если для входных данных использовать преобразование с нормализацией по строкам, то в этом случае согласованная матрица примет вид:




1/ER

-*Rz/Ez

-*R/E




[DR--Z]-1 =

-*zR/ER

1/Ez

-*z/E

(2.1-35)




-*R/ER

-*z/Ez

1/E




Сравнение матриц(2.1-27) и (2.1-35) позволяет получить такие соотношения:

Ex = ER (2.1-36)

Ey = Ez (2.1-37)

Ez = E (2.1-38)

xy = Ez/ER *Rz (2.1-39)

yz = *z = *z (2.1-40)

xz = E/ER *R (2.1-41)

Здесь, как и прежде, левая часть этих соотношений представляет собой входные данные (параметры NUXY, NUYZ, NUXZ), но теперь правая часть - это преобразование данных с нормализацией по строкам.

В программе ANSYS ввод данных для уравнений (2.1-29) ... (2.1-34) и (2.1-36) ... (2.1-41) можно также осуществить, используя метки PRXY, PRYZ и PRXZ с соответствующими дополнительными преобразованиями.


^ 2.1.3. Зависимость коэффициента температурного расширения

от температуры

В уравнении (2.1-3) компонента температурной деформации имеет следующий вид:

th = (T) (T - Tref). (2.1-42)

При этом предполагается, что коэффициент не является функцией температуры. Если предположить, что зависит от температуры, то уравнение (2.1-42) запишется таким образом:

th =Tref inst (T)dT, (2.1-43)

где inst (T) - так называемый мгновенный коэффициент температурного расширения.

В программе, однако, используется среднее, или средневзвешенное, значение коэффициента , которое дает возможность получить значение температурной деформации в виде уравнения (2.1-42):

th = *(T) (T - Tref), (2.1-44)

где *(T) = Tref (inst/(T - Tref)) dT - cреднее значение коэффициента температурного расширения, введенного в виде ALPX, ALPY или ALPZ командой МР.

Обычно исходные данные приводятся в справочной литературе как некоторые средние значения, и эти данные корректно используются в программе до тех пор, пока величина Tref является не только температурой, при которой можно использовать справочные данные, но и температурой, при которой отсутствуют температурные деформации. Если это условие не выполняется, необходимо исправить значение коэффициента температурного расширения. Рассмотрим следующие выражения:

0th = 0*(T) (T - T0) = T0 inst dT, (2.1-45)

rth = r*(T) (T - Tref) = Tref inst dT. (2.1-46)

Уравнения (2.1-45) и (2.1-46) определяют температурную деформацию при температуре T для разных начальных точек: T0 и Tref. Предположим, что T0 - это температура, в окрестности которой определялось значение коэффициента (температура определения), а Tref - температура, при которой отсутствуют температурные деформации (справочная температура). Таким образом, 0*(T) - это взятая из справочной литературы величина, а коэффициент r*(T) – это величина, которую требуется вводить как исходную.

Правую часть уравнения (2.1-45) можно представить следующим образом:

T0 inst dT = T0 inst dT + Tref inst dT , (2.1-47)

кроме того,

T0 inst dT = 0*(Tref) (Tref - T0) (2.1-48)

или

T0 inst dT = r*(T0) (Tref - T0) . (2.1-49)

Из соотношений (2.1-45) … (2.1-48) следует основное равенство:

r*(T) = 0*(T) + (Tref - T0) / (T- T ref) (0*(T) - 0*(Tref)). (2.1-50)

Итак, уравнение (2.1-50) следует использовать, когда требуется учесть различие температуры, при которой определялся коэффициент , и температуры, при которой отсутствуют температурные деформации. Это делается автоматически при использовании команды MPAMOD.

Заметим, что если Tref = T0, уравнение (2.1-50) принимает простейший вид.

Следует обратить внимание, что при T = Tref уравнение (2.1-50) не определено. Поскольку используемые значения T являются температурами, задаваемыми командой MPTEMP, то при ее использовании рекомендуется избегать задания T, равного Tref с погрешностью в один градус. Если значение T = Tref и

  1. величина Т равна любому из крайних значений введенного интервала температур, то коэффициент принимает значение, соответствующее ближайшей соседней точке;

  2. величина Т не равна ни одному из крайних значений введенного интервала температур, то коэффициент равен средней величине двух новых соседних значений.


___________________________


2-
Structural Fundamentas



Схожі:




База даних захищена авторським правом ©lib.exdat.com
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації