Поиск по базе сайта:
Рабочая программа дисциплины «Математический анализ» icon

Рабочая программа дисциплины «Математический анализ»




Скачати 203.74 Kb.
НазваРабочая программа дисциплины «Математический анализ»
Дата конвертації28.12.2012
Розмір203.74 Kb.
ТипРабочая программа


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ


Томский государственный университет


Факультет прикладной математики и кибернетики


УТВЕРЖДАЮ


Декан ФПМК__________А.М. Горцев


"1" марта 2011 г.


Рабочая программа дисциплины

«Математический анализ»


Направление подготовки

080100 Экономика

Профиль: Математические методы в экономике


Квалификация выпускника

Бакалавр


Форма обучения

очная


Томск

2011

^ 1. Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины «Математический анализ» являются: получение студентами фундаментальных математических знаний и навыков, овладение математическими методами решения практических задач.


^ 2. Место дисциплины в структуре ООП бакалавриата


Дисциплина «Математический анализ» является дисциплиной математического цикла Б.2 (базовая часть) дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению 080100 «Экономика» (профиль: Математические методы в экономике) и изучается в I – III семестрах. Вместе с дисциплиной «Линейная алгебра и аналитическая геометрия» «Математический анализ» составляет базовый математический модуль для изучения дисциплин следующего уровня: «Теория вероятностей и математическая статистика», «Дифференциальные уравнения», «Методы вычислений», «Эконометрика», «Исследование операций». Для освоения дисциплины «Математический анализ» необходимы знания, полученные в средней школе в рамках изучения предметов: «Алгебра и начала анализа» и «Геометрия».


^ 3. Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В совокупности с другими дисциплинами базовой части математического цикла ФГОС ВПО дисциплина «Математический анализ» обеспечивает инструментарий формирования следующих компетенций бакалавра экономики

• способность понимать сущность и значение информации в развитии современного информационного общества, сознавать опасности и угрозы, возникающие в этом процессе, соблюдать основные требования информационной безопасности (ОК-12);

• владение основными методами, способами и средствами получения, хранения, переработки информации, навыками работы с компьютером как средством управления информацией, способность работать с информацией в глобальных компьютерных сетях (ОК-13);

• способность собирать и анализировать исходные данные, необходимые для расчета экономических и социально-экономических показателей, характеризующих деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-1);

• способность на основе типовых методик и действующей нормативно-правовой базы рассчитать экономические и социально-экономические показатели, характеризующие деятельность хозяйствующих субъектов (ПК-2);

• способность выполнять необходимые для составления экономических разделов планов расчеты и обосновывать их (ПК-3);

• способность осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);

• способность выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5);

• способность на основе описания экономических процессов и явлений строить стандартные теоретические и эконометрические модели, содержательно анализировать полученные результаты (ПК-6);

• способность для решения аналитических и исследовательских задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-10);

• способность использовать для решения коммуникативных задач современные технические средства и информационные технологии (ПК-12);

• способность преподавать экономические дисциплины в образовательных учреждениях различного уровня, используя существующие программы и учебно-методические материалы (ПК-14);

• способность принимать участие в совершенствовании и разработке учебно-методического обеспечения экономических дисциплин (ПК-15).


В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

^ Знать: основы математического анализа.

Уметь: применять методы математического анализа и моделирования, теоретические и экспериментальные исследования для решения экономических задач.

Владеть: - навыками применения современного математического инструментария для решения экономических задач;

- методикой построения, анализа и применения для оценки состояния и прогноза развития экономических явлений и процессов.


^ 4.Структура и содержание дисциплины (модуля)

Общая трудоемкость дисциплины «Математический анализ» составляет 19,4 зачетных единиц (698 часов).


Раздел 1. Теория вещественных чисел

Мощность множества. Счетные и континуальные множества. Рациональные и вещественные числа. Точные грани числовых множеств.


^ Раздел 2. Предел. Непрерывность

Предел последовательности и его свойства. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности. Предельный переход в неравенствах. Предел монотонной последовательности. Лемма о вложенных отрезках. Бином Ньютона. Число «е» как предел последовательности. Подпоследовательности. Верхний и нижний пределы последовательности.

Предел функции и его свойства. Замечательные пределы. Признаки существования предела функции. Сравнение бесконечно больших и бесконечно малых функций.

Непрерывность функции. Классификация точек разрыва функции. Теоремы о непрерывных функциях. Равномерная непрерывность функции. Обратная функция. Непрерывность элементарных функций.


^ Раздел 3. Производная и ее применение

Определение и геометрический смысл производной. Таблица производных. Теоремы о функциях, имеющих производную. Производные высших порядков и из свойства. Дифференциал и дифференцируемость функции. Дифференциалы высших порядков. Дифференциалы сложных функций. Формула Тейлора. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей. Исследование функции на монотонность и экстремум. Выпуклость и точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функции.


^ Раздел 4. Неопределенный интеграл

Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов и основные методы интегрирования. Интегрирование рациональных дробей, иррациональных и тригонометрических функций.


^ Раздел 5. Определенный интеграл

Интегральная сумма и определенный интеграл. Суммы Дарбу и признак существования определенного интеграла. Свойства интегрируемых функций и определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Определенный интеграл как функция верхнего предела интегрирования и теоремы о среднем. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление длин дуг плоских кривых, площадей плоских фигур, объемов, площадей поверхностей вращения.


^ Раздел 6. Несобственные интегралы

Определение и свойства несобственного интеграла 1 рода. Признаки сходимости несобственных интегралов 1 рода. Лемма Бореля. Особые точки функции и определение несобственного интеграла 2 рода. Главные значения несобственных интегралов. Интегралы Фруллани.


^ Раздел 7. Числовые ряды

Основные определения. Свойства рядов. Признаки сходимости рядов. Сочетательное свойство сходящихся рядов. Переместительное свойство рядов и теорема Римана. Умножение рядов.


^ Раздел 8. Функции многих переменных

Основные определения. Предел и непрерывность функции многих переменных. Двойные и повторные пределы. Производные и дифференциал функции многих переменных. Неявные функции одной и многих переменных: существование и дифференцируемость. Система неявных функций. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Экстремум функции многих переменных. Метод неопределенных множителей Лагранжа решения задачи на условный экстремум функции многих переменных.


^ Раздел 9. Криволинейные интегралы

Определение и вычисление криволинейных интегралов 1 и 2 рода. Критерий независимости криволинейного интеграла 2 рода от пути. Интегралы по простым контурам. Интегральная формула Коши. Формула Коши для высших производных.


^ Раздел 10. Функциональные ряды

Определение равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда. Признаки равномерной сходимости рядов. Свойства рано мерно сходящихся рядов. Степенные ряды и радиус их сходимости. Почленное интегрирование и дифференцирование степенных рядов. Действия со степенными рядами. Ряд Лорана и круг его сходимости. Разложение функций в ряд Лорана. Асимптотические ряды. Ряды Фурье.


^ Раздел 11. Вычисление интегралов с помощью вычетов

Вычеты в особых точках комплексной функции комплексной переменной: определение и вычисление. Вычисление с помощью вычетов некоторых несобственных интегралов. Теорема Руше и основная теорема алгебры.


^ Раздел 12. Интегралы, зависящие от параметра

Основные определения. Предельный переход под знаком интеграла, зависящего от параметра. Дифференцирование и интегрирование под знаком интеграла, зависящего от параметра. Несобственные интегралы, зависящие от параметра и признаки из сходимости. Эйлеровы интегралы. Преобразование Лапласа и его свойства.


^ Раздел 13. Кратные интегралы

Двойные интегралы: определение, свойства, вычисление. Замена переменных в двойном интеграле. Площадь поверхности. Поверхностные интегралы 1 и 2 рода. Тройные интегралы: определение и вычисление. Многократные интегралы. Замена переменных в многократных интегралах.

^ Распределение часов дисциплины по разделам приведено в следующей таблице






пп



Раздел дисциплины

Семестр

^ Неделя семестра

Виды учебной работы, включая самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)

Формы текущего контроля успева-емости (по неделям семестра)

Форма промежуточной аттестации (по семестрам)

лекции

практ.

занятия

самост.

работа

1

Теория вещественных чисел

1

1-2

8

8

10

Коллоквиум, контрольная работа

2

Предел. Непрерывность

1

3-6

16

16

22

3

Производная и ее применение

1

7-10

16

16

24



Коллоквиум, контрольная работа

4

Неопределенный интеграл

1

11-13

12

12

24

5

Определенный интеграл

1

14-16

12

12

20

Всего за I семестр

64

64

100

Зачет, экзамен

6

Несобственные интегралы

2

1-2

8

8

16

Коллоквиум, контрольная работа

7

Числовые ряды

2

3-5

12

12

24

8

Функции многих переменных

2

6-9

16

16

24

Коллоквиум, контрольная работа

9

Криволинейные интегралы

2

10-11

8

8

14

10

Функциональные ряды

2

12-15

16

16

22

Коллоквиум, контрольная работа

Всего за II семестр

60

60

100

Зачет, экзамен

11

Вычисление интегралов с помощью вычетов

3

1-3

6

6

16

Коллоквиум, контрольная работа

12

Интегралы, зависящие от параметра

3

4-9

12

12

20

13

Кратные интегралы

3

10-16

14

14

24

Коллоквиум, контрольная работа

Всего за III семестр

32

32

60

Зачет, экзамен

ИТОГО

156

156

260

126


^ 5. Образовательные технологии


Для реализации дисциплины «Математический анализ» применяются консервативные образовательные технологии в лекционно-семинарской форме, которая является наиболее информационноемкой. Она пригодна для решения таких задач как передача большого объема информации, развития памяти, внимания, некоторых логических умений обучающихся (выделять главное и существенное, структурировать учебный материал, подбирать доказательство). Составляющие технологии:

  • поточно-групповая организация занятий;

  • еженедельная передача информации небольшими порциями;

  • постановка преподавателем четких целей обучения;

  • фронтальная и индивидуальная работа преподавателя со студентами;

  • индивидуальная работа студентов с учебной литературой;

  • фрагментарная проверка выполнения самостоятельной работы студентов;

Условием эффективного усвоения содержания курса является обязательное сочетание теоретических занятий с практическими для того , чтобы апробировать теоретические знания на практике.

    Занятия лекционного типа составляют 50% аудиторных занятий

Для организации самостоятельной работы студентам задаются домашние задания.


6. Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов. Оценочные средства для текущего контроля успеваемости, промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины.

Дисциплина «Математический анализ» изучается в 1–3 семестрах. В конце каждого семестра студенты сдают зачет по практической части курса в зачетную неделю и экзамен в сессию. Обязательными при изучении дисциплины «Математический анализ» являются следующие виды самостоятельной работы:

— разбор теоретического материала по пособиям и конспектам лекций;

— самостоятельное изучение указанных теоретических вопросов;

— решение задач по темам практических занятий;

— выполнение домашних контрольных работ.

Для текущего контроля самостоятельной работы студентов в каждом семестре предусмотрено проведение контрольных работ и коллоквиумов по основным разделам дисциплины,

проверка выполнения домашних заданий. Ниже приводятся контрольные вопросы по теории дисциплины «Математический анализ».

Контрольные вопросы:

  1. Определение счетного множества и теорема Кантора.

  2. Свойства счетных множеств.

  3. Теоремы о приближении вещественных чисел рациональными.

  4. Теорема о существовании супремума у ограниченного сверху множества.

  5. Определение и свойства бесконечно малых и сходящихся последовательностей.

  6. Две теоремы о предельном переходе в неравенствах для последовательностей.

  7. Теорема о пределе монотонной последовательности.

  8. Бином Ньютона и число « е ».

  9. Лемма о вложенных отрезках.

  10. Три леммы о подпоследовательностях и предельных точках последовательности.

  11. Лемма Больцано-Вейерштрасса.

  12. Признак Больцано-Коши сходимости последовательности.

  13. Определение верхнего и нижнего пределов последовательности. Теорема о существовании предела у ограниченной последовательности.

  14. Два определения предела функции и их эквивалентность.

  15. Первый замечательный предел.

  16. Второй замечательный предел.

  17. Теорема о пределе монотонной функции.

  18. Признак Больцано-Коши существования предела функции.

  19. Определение и свойства непрерывной функции. Классификация точек разрыва. Теорема о разрывах монотонной функции.

  20. Первая теорема Больцано-Коши.

  21. Вторая теорема Больцано-Коши.

  22. Первая теорема Вейерштрасса.

  23. Вторая теорема Вейерштрасса.

  24. Определение равномерно непрерывной функции. Теорема Кантора.

  25. Теорема о существовании обратной функции.

  26. Свойства показательной функции.

  27. Получение значений

  28. Вывод производных функций

  29. Теоремы Ферма и Ролля.

  30. Вывод формул Коши и Лагранжа.

  31. Связь существования производной функции с ее непрерывностью и дифференцируемостью.

  32. Формула Тейлора для полинома и для произвольной функции.

  33. Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано.

  34. Остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

  35. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности «» .

  36. Правило Лопиталя раскрытия неопределенности «»

  37. Критерии постоянства и монотонности функции через производную. Определение и необходимое условие локального экстремума функции.

  38. Теорема о чередовании локальных максимумов и минимумов у непрерывной функции. Достаточные условия локального экстремума функции.

  39. Определение и свойства выпуклой функции.

  40. Условия выпуклости через определитель и первую производную.

  41. Определение, необходимое и достаточные условия точки перегиба.

  42. Комплексные числа: формы представления, операции.

  43. Комплексные числа: два вывода формулы Эйлера.

  44. Свойства неопределенного интеграла. Основные методы интегрирования. Таблица простейших неопределенных интегралов.

  45. Лемма и две теоремы о кратных корнях многочлена.

  46. Теоремы о разложении правильной рациональной дроби на простейшие дроби.

  47. Интегрирование рациональных дробей.

  48. Интегрирование тригонометрических функций.

  49. Интегрирование биномиальных дифференциалов.

  50. Интегрирование дробно-линейных и квадратичных иррациональностей.

  51. Определенный интеграл: определение, вычисление, замена переменной.

  52. Критерий существования определенного интеграла. Классы интегрируемых функций.

  53. Свойства интегрируемых функций.

  54. Свойства определенных интегралов.

  55. Первая теорема о среднем. Два свойства интеграла с переменным верхним пределом.

  56. Вторая теорема о среднем.

  57. Определение и вычисление длины дуги плоской кривой (3 теоремы)

  58. Определение объема тела. Вычисление объемов тел с известным поперечным сечением и тел вращения. Вычисление площади поверхности вращения.

  59. Два неравенства Йенсена для выпуклых функций.

  60. Определение несобственного интеграла I рода. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода от неотрицательных функций.

  61. Признаки сходимости несобственных интегралов I рода от функций произвольного знака.

  62. Лемма Бореля. Особые точки функции.

  63. Признаки сходимости несобственных интегралов II рода.

  64. Главные значения несобственных интегралов. Замена переменных и интегрирование по частям в несобственном интеграле. Интегралы Фруллани.

  65. Определение суммы числового ряда. Свойства сходящихся рядов.

  66. Признаки сходимости положительных рядов.

  67. Признаки Даламбера, Коши и Раабе сходимости положительных рядов.

  68. Отсутствие ряда для построения универсального признака сходимости рядов.

  69. Интегральный признак Коши. Оценки остатка сходящегося и темпа роста расходящегося рядов.

  70. Преобразование Абеля. Признаки Больцано-Коши, Дирихле и Абеля сходимости рядов.

  71. Переместительное и сочетательное свойства сходящихся рядов.

  72. Теорема Римана.

  73. Функции многих переменных: основные определения, теоремы об открытом шаре, определения пределов последовательности и функции, теоремы о точке сгущения и об эквивалентности определения Коши и Гейне предела функции.

  74. Функции многих переменных: основные определения. Двойной и повторные пределы функции. Теорема об их равенстве.

  75. Лемма Больцано-Вейерштрасса и теоремы о непрерывных функциях. Теорема Кантора о равномерной непрерывности.

  76. Определение дифференцируемости и дифференциала функции многих переменных. Необходимое и достаточное условия дифференцируемости.

  77. Производная суперпозиции функции многих переменных (вывод формулы). Формула конечных приращений. Производная по направлению и градиент.

  78. Условия Коши-Римана (2 теоремы).

  79. Определение, теорема существования и дифференцируемости неявной функции одной переменной.

  80. Определение, теорема существования и дифференцируемости системы неявных функций.

  81. Определение частных производных произвольного порядка. Две теоремы о равенстве смешанных производных.

  82. Дифференциалы высших порядков функций многих переменных, в том числе от сложных функций. Формула Тейлора для функции многих переменных.

  83. Необходимые и достаточные (теорема) условия экстремума функции многих переменных.

  84. Определение и вычисление криволинейных интегралов I и II рода. Связь между криволинейными интегралами I и II рода.

  85. Независимость криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования (плоский случай)

  86. Независимость криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования (трехмерный случай)

  87. Определение интеграла от функции комплексной переменной и его связь с криволинейным интегралом II рода. Интегралы от аналитических функций, теорема Мореры.

  88. Интегралы по простым контурам.

  89. Интегральная формула Коши и замечания к ней.

  90. Формула Коши для высших производных и 2 замечания к ней.

  91. Равномерная сходимость функций (4 теоремы)

  92. Предельный переход под знаком собственного интеграла, зависящего от параметра.

  93. Дифференцирование собственного интеграла по параметру.

  94. Интегрирование собственного интеграла по параметру. Признаки Вейерштрасса, Абеля, Дирихле сходимости несобственных интегралов I рода, зависящих от параметра.

  95. Предельный переход и дифференцирование под знаком несобственного интеграла I рода, зависящего от параметра.

  96. Интегрирование несобственного интеграла I рода по параметру. Интеграл Эйлера-Пуассона.

  97. Бета-функция и ее свойства. Вывод формулы, связывающей бета- и гамма- функции.

  98. Гамма-функция и ее свойства.

  99. Преобразование Лапласа: определение, теоремы об аналитичности изображения и существовании оригинала.

  100. Свойства преобразования Лапласа.

  101. Двойные интегралы.

  102. Формула Грина и коэффициент деформации площади.

  103. Замена переменных в двойном интеграле.

  104. Несобственные двойные интегралы I рода: определение и три теоремы.

  105. Способы задания поверхности и соответствующие: уравнение касательной плоскости, нормаль и направляющие косинусы. Структура поверхности.

  106. Вывод формулы площади поверхности.

  107. Поверхностные интегралы I и II рода: определение и вычисление.

  108. Поверхностный интеграл II рода: определение и вычисление. Формула Стокса.

  109. Тройные интегралы: определение и вычисление. Формула Остроградского-Гаусса.

  110. Теорема о замене переменных в многократном интеграле.



^ 7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Математический анализ»

а) основная литература:

1. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, тт. I-III. – М.: Наука, 1970.

2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч. I,II. – М.: Наука, 1979.

3. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1973.

4. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука – все издания для физико-математических факультетов университетов.


б) дополнительная литература:

1. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. – М.: Наука, 1974.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. – М: Наука, 1989.

3. Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. – М.: Просвещение, 1981.

4. Степанова Н.В. Вычисление пределов функций. – Изд-во ТГУ, 1992 г.

5. Туренова Е.Л. Пределы, непрерывность. – Изд-во ТГУ, 1998 г.

6. Марголис Н.Ю. Несобственные интегралы. – Изд-во ТГУ, 2000 г.

7. Василевская Т.П., Колосова О.А., Макушкина И.Ю. Исследование сходимости числовых рядов. – Изд-во ТГУ, 1993 г.

8. Тривоженко Г.В., Туренова Е.Л. Производные и дифференциалы функций многих переменных. – Изд-во ТГУ, 2004 г.

9. Терпугов А.Ф. Суммирование степенных рядов. – Изд-во ТГУ, 1990 г.

10. Василевская Т.П., Колосова О.А. Построение асимптотических разложений методом перевала. – Изд-во ТГУ, 1996 г.

11. Василевская Т.П., Колосова О.А. Интегралы и ряды в комплексной области. – Изд-во ТГУ, 2001 г.

12. Туренова Е.Л. Преобразование Лапласа. – Изд-во ТГУ, 2003 г.

13. Марголис Н.Ю. Ряды Лорана. Вычеты. – Изд-во ТГУ, 1991 г.

14. Марголис Н.Ю. Вычисление интегралов с помощью вычетов. – Изд-во ТГУ, 1991 г.

15. Терпугов А.Ф. Вычисление и преобразование двойных интегралов. – Изд-во ТГУ, 1990 г.

16. Терпугов А.Ф. Вычисление и преобразование тройных и многократных интегралов. – Изд-во ТГУ, 1992 г.

17. Туренова Е.Л. Поверхностные интегралы. – Изд-во ТГУ, 2009 г.


в) программное обеспечение и Интернет-ресурсы

  1. http://www. exponenta.ru – «Образовательный математический сайт Exponenta.ru».

  2. http://www. matclub.ru – Лекции, примеры решения задач, интегралы и производные, дифференцирование, ТФКП, Электронные учебники. Типовой расчет из задачника Кузнецова. 

  3. http://www. math.ru – «Образовательный математический сайт Math.ru».


^ 8. Материально-техническое обеспечение дисциплины


В распоряжении преподавателей и обучающихся имеется основное необходимое материально-техническое оборудование, а именно компьютеры с соответствующим компьютерным и программным обеспечением, интернет-ресурсы, доступ к полнотекстовым электронным базам, книжный фонд (3,8 млн. экземпляров) Научной библиотеки Томского университета.


Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО с учетом рекомендаций и ПрООП ВПО по направлению подготовки 080100 «Экономика» профиля «Математические методы в экономике».


Авторы: Завгородняя Мария Евгеньевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры технической кибернетики, Марголис Наталья Юрьевна, кандидат технических наук, доцент кафедры теории вероятностей и математической статистики

Рецензент: Колосова Ольга Андреевна, кандидат технических наук, доцент кафедры технической кибернетики.

Программа одобрена на заседании Ученого совета ФПМК, протокол № 282 от 24.02.2011г.




Схожі:




База даних захищена авторським правом ©lib.exdat.com
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації