Поиск по базе сайта:
Лабораторная работа №3 Применение функций операционного исчисления для исследования линейных динамических систем в системе matlab. Преобразование Лапласа в matlab функция laplace icon

Лабораторная работа №3 Применение функций операционного исчисления для исследования линейных динамических систем в системе matlab. Преобразование Лапласа в matlab функция laplace




Скачати 109.82 Kb.
НазваЛабораторная работа №3 Применение функций операционного исчисления для исследования линейных динамических систем в системе matlab. Преобразование Лапласа в matlab функция laplace
Дата конвертації21.11.2012
Розмір109.82 Kb.
ТипЛабораторная работа











ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3

Применение функций операционного исчисления

для исследования линейных динамических систем

в системе MATLAB.


  1. Преобразование Лапласа в MATLAB — функция laplace.

1.1. syms x y t; % задание символьных переменных


f1 = t; % зададим функцию-оригинал;

L1 = laplace(f1) % определение изображения по Лапласу от линейной функции;


f2 = sym('10'); % функцию f2 = 10 выражаем в символьном виде;

^ L2 = laplace(f2) % определение изображения от постоянной;


f3 = sym('3')*t + sym('7'); % оригинал линейной функции;

L3 = laplace(f3) % изображение линейной функции;


f4 = exp(-t); % оригинал экспоненциальной функции (со знаком минус);

^ L4 = laplace(f4) % изображение экспоненциальной функции ;


f5 = exp(t); % оригинал экспоненциальной функции (со знаком плюс);

L5 = laplace(f5) % изображение экспоненциальной функции ;


^ L6 = laplace(exp(t))


f6 = sin(x);

L6 = laplace(f6) % изображение тригонометрической функции sin(x);


L7 = laplace(cos(x)) % изображение тригонометрической функции cos(x);


  1. Передаточные функции.

Определение. Передаточной функцией линейной динамической системы называется отношение изображения по Лапласу выходного сигнала к изображению по Лапласу входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Передаточная функция в общем случае является дробно рациональной функцией относительно оператора преобразования Лапласа:

(1)

Условие m  n отвечает условию реализуемости систем.

Создание передаточных функций — tf. % См. help tf;

2.1. Сформируем следующую передаточную функцию W1:

. (2)


2.2. В командной строке MATLAB набираем (или создаем М-сценарий):

W1=tf(12,[1 2 3 1])

% Результат возвращается в виде:

Transfer function:

12

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 3 s + 1


2.3. . Сформируем следующую передаточную функцию W2:

. (3)


В командной строке MATLAB набираем:

W2=tf([3 5 4],[1 2 3 1])

% Результат возвращается в виде:

^ Transfer function:

3 s^2 + 5 s + 4

---------------------

s^3 + 2 s^2 + 3 s + 1

Формирование передаточных функций с разложением на множители числителя и знаменателя с заданным коэффициентом передачи — zpk (zero-pole-gain), символ k отображает gain.

Нули передаточной функции — это корни числителя, полюса — корни знаменателя.

2.4. Сформируем передаточную функцию со статическим коэффициентом, равным 7.7, и с полюсами . Назовем ее передаточной функцией с выделенными нулями и полюсами.

В командной строке MATLAB набираем:

W3=zpk([],[-3.3,-0.25,-12.7],7.7)

% Результат возвращается в виде:

Zero/pole/gain:

7.7

-------------------------

(s+3.3) (s+12.7) (s+0.25)

% Символ []означает, что в числителе передаточной функции характеристический полином

%нулевой

2.5. Сформируем передаточную функцию со статическим коэффициентом, равным 7.7, с полюсами и с нулями .

В командной строке MATLAB набираем:

W4=zpk([4,-5],[-3.3,-0.25,-12.7],7.7)

% Результат возвращается в виде:

Zero/pole/gain:

7.7 (s-4) (s+5)

-------------------------

(s+3.3) (s+12.7) (s+0.25)

2.6. Взаимное преобразование форм передаточных функций.

2.6.1. Преобразуем полученную передаточную функцию W4 в рациональную форму:

% В командной строке MATLAB набираем:

» w44=tf(W4)

% Результат возвращается в виде:

Transfer function:

7.7 s^2 + 7.7 s - 154

---------------------------------

s^3 + 16.25 s^2 + 45.91 s + 10.48


2.6.2. Преобразуем рациональную передаточную функцию в форму с выделенными нулями и полюсами:

% В командной строке MATLAB сформируем простую передаточную функцию вида:

.

W5=tf(10,[1,3,2])

% Результат возвращается в виде:

^ Transfer function:

10

-------------

s^2 + 3 s + 2

% Полученная передаточная функция соответствует описанию объекта, состоящего из двух последовательно соединенных инерционных звеньев с результирующим коэффициентом передачи, равным 10, и постоянными времени .

% Передаточная функция с выделенными нулями и полюсами w55:

w55=zpk(W5) % Формат преобразования

% Результат преобразования

Zero/pole/gain:

10

---------

(s+2)(s+1)


% Преобразуем рациональную передаточную функцию W2 в форму с выделенными нулями и полюсами:

w22=zpk(W2) % Формат преобразования

% Результат преобразования

Zero/pole/gain:

3 (s^2 + 1.667s + 1.333)

--------------------------------

(s+0.4302) (s^2 + 1.57s + 2.325)


% Рассмотренные передаточные функции типа (1) описывают объекты управления с одним входом и одним выходом — системы SISO (single input single output).


2.7. Оценка динамики объекта управления по заданной передаточной функции.

Динамика объекта управления определяется знаменателем передаточной функции, точнее корнями характеристического уравнения, составленного из знаменателя. Если корни характеристического уравнения "левые", то соответствующий переходный процесс будет установившимся, если же корни "правые", то переходный процесс будет неустановившимся, т.е. стремиться к бесконечности (по выходной координате объекта или по всем возможным координатам).

Для расчета корней характеристического уравнения можно использовать функцию eig.

2.7.1. Определим корни характеристического уравнения для объекта с передаточной функцией W5 и w55.

» eig(W5) % W5 — рациональная передаточная функция

ans =

-2

-1


» eig(w55) % w55 — передаточная функция с выделенными нулями и полюсами

ans =

-2

-1

% Результат получен один и тот же. Форма w55 позволяет сразу определить корни, если

% они простые

2.7.2. Определим корни характеристического уравнения для объекта с передаточной функцией W2 и w22.

»eig(W2) % W2 — рациональная передаточная функция

ans =

-0.7849 + 1.3071i

-0.7849 - 1.3071i

-0.4302


»eig(w22) %w22 — передаточная функция с выделенными нулями и полюсами, получена из W2

ans =

-0.7849 + 1.3071i

-0.7849 - 1.3071i

-0.4302

% Получены два комплексных корня и один простой. Простой корень легко может быть определен из передаточной функции w22.


2.7.3. Передаточные функции с кратными корнями.

Зададим простой корень, равный 6.78 тройной кратности и с помощью zpk сформируем следующую передаточную функцию w66:

» w66=zpk([],[-6.78,-6.78,-6.78],7)

% Рассчитаем корни соответствующего характеристического уравнения

» eig(w66)

ans =

-6.7800

-6.7800

-6.7800

% Получены три простых одинаковых корня


2.7.4. Передаточные функции с комплекными корнями.

Комплексные корни входят сопряженными парами.

Зададим один простой корень и два комплесно-сопряженных с помощью zpk.

» w77=zpk([],[-5+2.3*i,-5-2.3*i,-5.7],6)

Zero/pole/gain:

6

---------------------------

(s+5.7) (s^2 + 10s + 30.29)

% Имеем один простой корень, равный -5.7, и два комплесно-сопряженных: -5+2.3i; -5-2.3i, где

% i — символ мнимой единицы (можно использовать и j одновременно или совместно).

Рациональная передаточная функция, соответствующая w77, будет иметь вид:

» W77=tf(w77)

Transfer function:

6

--------------------------------

s^3 + 15.7 s^2 + 87.29 s + 172.7


  1. Передаточные функции многомерных систем.

Формирование передаточных функций для многомерных систем (MIMO — multiple input multiple output) основано на представлении числителя и знаменателя в виде передаточных функций одномерных систем.

^ 1-й способ формирования передаточной функции системы MIMO с помощью tf.

  • формирование массива ячеек, содержащих многочлены числителя — N;

  • формирование массива ячеек, содержащих многочлены знаменателя — D.

Массивы числителя и знаменателя содержат векторы-строки, которые заключаются в фигурные скобки.

3.1. Формирование многомерной передаточной функции, которая описывает объект управления с двумя входами (два управляющих воздействия) для объекта третьего порядка.

% Формируем массив ячеек числителя N

» N={[1,- 2.3];[2,3.4]};

% Формируем массив знаменателя D

» D={[1 3.6 ];[2 3 5]};

% Формируем передаточную функцию многомерной системы М

» M1=tf(N,D)

% Результат возвращается в виде

Transfer function from input to output...

s - 2.3

#1: ------- % По первому входу

s + 3.6

2 s + 3.4

#2: --------------- % По второму входу

2 s^2 + 3 s + 5

2-й способ формирования передаточной функции системы MIMO с помощью tf.

Заключается в объединении предаточных функций одномерных систем.

3.2. Сформируем передаточную функцию системы MIMO по известным передаточным функциям систем SISO.

% Первая система SISO имеет передаточную функцию S11

» S11=tf([1 2],[1 3 2]) % Последовательное соединение двух инерционных звеньев

^ Transfer function:

s + 2

-------------

s^2 + 3 s + 2


% Вторая система SISO имеет передаточную функцию S21

» S21=tf([7],[2 1]) % Передаточная функция одного инерционного звена

^ Transfer function:

7

-----

2s + 1


% Передаточная функция многомерной системы М2

» M2=[S11;S21]

Transfer function from input to output...

s + 2

#1: -------------

s^2 + 3 s + 2

7

#2: -------

2 s + 1


3-й способ формирования передаточной функции системы MIMO с помощью zpk.

3.3. Формирование передаточной функции системы MIMO по массиву ячеек.

% Формируем массив ячеек числителя передаточной функции MIMO

» Z={[1],5;[-1],[-2 -4]};

% Формируем массив ячеек знаменателя передаточной функции MIMO

» P={[-1 -2],[-3 -6];[-1 -2],[-4 -5]};

% Формируем массив ячеек статического коэффициента передачи MIMO

» K=[3 5;7 9];

% Формируем передаточную функцию М3 системы MIMO

» M3=zpk(Z1,P1,K)

% Результат формирования М3 по заданным ячейкам выдается по каждому управлению (которых два) к каждой выходной координате (которых две)


^ Zero/pole/gain from input 1 to output...

3 (s-1)

#1: -----------

(s+1) (s+2)

7 (s+1)

#2: -----------

(s+1) (s+2)

Zero/pole/gain from input 2 to output...

5 (s-5)

#1: -----------

(s+3) (s+6)

9 (s+2) (s+4)

#2: -------------

(s+4) (s+5)

4-й способ формирования передаточной функции системы MIMO с помощью zpk.

Основан на предварительном формировании с помощью zpk передаточных функций одномерных систем.

3.4. Формирование передаточной функции MIMO по заданным передаточным функциям SISO.

% Формируем первую передаточную функцию SISO

» z1=zpk([1],[-1 -2],2) % Для массива числителя MIMO

Zero/pole/gain:

2 (s-1)

-----------

(s+1) (s+2)

% Формируем вторую передаточную функцию SISO

» z2=zpk([],[-3 -4],4) % Для массива числителя MIMO

Zero/pole/gain:

4

-----------

(s+3) (s+4)


% Формируем третью передаточную функцию SISO

» p1=zpk(2,[-1.2 -2.3],5) % Для массива знаменателя MIMO

Zero/pole/gain:

5 (s-2)

---------------

(s+1.2) (s+2.3)


% Формируем четвертую передаточную функцию SISO

» p2=zpk([],[-3 -5],6) % Для массива знаменателя MIMO

Zero/pole/gain:

6

-----------

(s+3) (s+5)

% Формируем передаточную функцию MIMO с двумя входами и двумя выходами

» M4=[z1 z2;p1 p2;[]]

Zero/pole/gain from input 1 to output...

2 (s-1)

#1: -----------

(s+1) (s+2)

5 (s-2)

#2: ---------------

(s+1.2) (s+2.3)

Zero/pole/gain from input 2 to output...

4

#1: -----------

(s+3) (s+4)

6

#2: -----------

(s+3) (s+5)


% Знак пустого множества [] относится к статическому коэффициенту K передачи системы MIMO. Заполнение коэффициента K должно происходить с учетом количества входов и ли количества входных воздействий. В рассматриваемо случае число столбцов K должно равняться двум.


3.5. Определение корней характеристического уравнения многомерной системы — eig, pole.

Для системы MIMO с заданной передаточной функцией М4 корни соответствующего характеристического уравнения можно определять с помощью функций eig,pole.

% Найдем корни в формате вывода в виде строки (путем транспонирования)

» eig(M4)' % или можно определить как pole(M4)


ans =


-2.0000 -1.0000 -2.3000 -1.2000 -4.0000 -5.0000 -3.0000


3.6. Определение нулей передаточной функции многомерной системы — tzero.

% Найдем нули в формате вывода в виде строки (путем транспонирования)

» tzero(M4)'

ans =

3.3998 -1.9076 -0.8795 -5.8627

Задание:


  1. Построение переходных и импульсных характеристик систем, заданных передаточными функциями.


4.1. Переходные характеристики — step.

Определение. Переходной характеристикой (функцией) объекта (системы) управления называется его реакция во времени при воздействии на него единичной функции (единичного скачка) при нулевых начальных условиях.


%Форматы записи step рассмотрим на примерах с передаточными функциями.

W1=tf(12,[1 2 3 1]); % Рациональная передаточная функция

» step(W1),grid % С автоматическим установлением временного интервала

» step(W1,25),grid % С задаваемым установлением временного интервала от 0 до 25

» Z=zpk([],[-1 -2],4); % Функция с выделенными нулями и полюсами

» step(Z),grid % С автоматическим установлением временного интервала

» step(Z,13),grid % С задаваемым временным интервалом от 0 до 13

» step(Z,13,'r*'),grid,hold on,step(W1,'g*')% Совмещение двух графиков— 1сп.

» step(Z,13,'r*',W1,'g*'),grid % Совмещение двух графиков — 2-й способ


4.2. Импульсные характеристики — impulse.

Определение. Импульсной характеристикой (функцией) системы называется реакция системы во времени при воздействии на нее функции Дирака (с бесконечно большой амплитудой и бесконечной малой длительности).


%Форматы записи impulse рассмотрим на примерах с передаточными функциями.

W1=tf(12,[1 2 3 1]); % Рациональная передаточная функция

» impulse(W1),grid % С автоматическим установлением временного интервала

» impulse(W1,25),grid % С задаваемым установлением временного интервала от 0 до 25

» Z=zpk([],[-1 -2],4); % Функция с выделенными нулями и полюсами

» impulse(Z),grid % С автоматическим установлением временного интервала

» impulse(Z,13),grid % С задаваемым временным интервалом от 0 до 13

» impulse(Z,13,'r*'),grid,hold on,step(W1,'g*')% Совмещение графиков— 1сп.

» impulse(Z,13,'r*',W1,'g*'),grid % Совмещение графиков — 2-й способ




Схожі:




База даних захищена авторським правом ©lib.exdat.com
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації