Поиск по базе сайта:
Алгоритм Дейкстры. Поиск оптимальных маршрутов на графе icon

Алгоритм Дейкстры. Поиск оптимальных маршрутов на графе




Скачати 27.25 Kb.
НазваАлгоритм Дейкстры. Поиск оптимальных маршрутов на графе
Дата конвертації26.06.2013
Розмір27.25 Kb.
ТипДокументи

Алгоритм Дейкстры. Поиск оптимальных маршрутов на графе

Из многих алгоритмов поиска кратчайших маршрутов на графе, на Хабре я нашел только описание алгоритма Флойда-Уоршалла. Этот алгоритм находит кратчайшие пути между всеми вершинами графа и их длину. В этой статье я опишу принцип работы алгоритма Дейкстры, который находит оптимальные маршруты и их длину между одной конкретной вершиной (источником) и всеми остальными вершинами графа. Недостаток данного алгоритма в том, что он будет некорректно работать если граф имеет дуги отрицательного веса.

Для примера возьмем такой ориентированный граф G:

image

Этот граф мы можем представить в виде матрицы С:

image

Возьмем в качестве источника вершину 1. Это значит что мы будем искать кратчайшие маршруты из вершины 1 в вершины 2, 3, 4 и 5.
Данный алгоритм пошагово перебирает все вершины графа и назначает им метки, которые являются известным минимальным расстоянием от вершины источника до конкретной вершины. Рассмотрим этот алгоритм на примере. 

Присвоим 1-й вершине метку равную 0, потому как эта вершина — источник. Остальным вершинам присвоим метки равные бесконечности.

image

Далее выберем такую вершину W, которая имеет минимальную метку (сейчас это вершина 1) и рассмотрим все вершины в которые из вершины W есть путь, не содержащий вершин посредников. Каждой из рассмотренных вершин назначим метку равную сумме метки W и длинны пути из W в рассматриваемую вершину, но только в том случае, если полученная сумма будет меньше предыдущего значения метки. Если же сумма не будет меньше, то оставляем предыдущую метку без изменений.

image

После того как мы рассмотрели все вершины, в которые есть прямой путь из W, вершину W мы отмечаем как посещённую, и выбираем из ещё не посещенных такую, которая имеет минимальное значение метки, она и будет следующей вершиной W. В данном случае это вершина 2 или 5. Если есть несколько вершин с одинаковыми метками, то не имеет значения какую из них мы выберем как W.

Мы выберем вершину 2. Но из нее нет ни одного исходящего пути, поэтому мы сразу отмечаем эту вершину как посещенную и переходим к следующей вершине с минимальной меткой. На этот раз только вершина 5 имеет минимальную метку. Рассмотрим все вершины в которые есть прямые пути из 5, но которые ещё не помечены как посещенные. Снова находим сумму метки вершины W и веса ребра из W в текущую вершину, и если эта сумма будет меньше предыдущей метки, то заменяем значение метки на полученную сумму.

image

Исходя из картинки мы можем увидеть, что метки 3-ей и 4-ой вершин стали меньше, тоесть был найден более короткий маршрут в эти вершины из вершины источника. Далее отмечаем 5-ю вершину как посещенную и выбираем следующую вершину, которая имеет минимальную метку. Повторяем все перечисленные выше действия до тех пор, пока есть непосещенные вершины.

Выполнив все действия получим такой результат:

image

Также есть вектор Р, исходя из которого можно построить кратчайшие маршруты. По количеству элементов этот вектор равен количеству вершин в графе, Каждый элемент содержит последнюю промежуточную вершину на кратчайшем пути между вершиной-источником и конечной вершиной. В начале алгоритма все элементы вектора Р равны вершине источнику (в нашем случае Р = {1, 1, 1, 1, 1}). Далее на этапе пересчета значения метки для рассматриваемой вершины, в случае если метка рассматриваемой вершины меняется на меньшую, в массив Р мы записываем значение текущей вершины W. Например: у 3-ей вершины была метка со значением «30», при W=1. Далее при W=5, метка 3-ей вершины изменилась на «20», следовательно мы запишем значение в вектор Р — Р[3]=5. Также при W=5 изменилось значение метки у 4-й вершины (было «50», стало «40»), значит нужно присвоить 4-му элементу вектора Р значение W — P[4]=5. В результате получим вектор Р = {1, 1, 5, 5, 1}. 

Зная что в каждом элементе вектора Р записана последняя промежуточная вершина на пути между источником и конечной вершиной, мы можем получить и сам кратчайший маршрут.


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c4/dijkstra_flow_chart.ru.svg/200px-dijkstra_flow_chart.ru.svg.png

http://bits.wikimedia.org/static-1.20wmf12/skins/common/images/magnify-clip.png

Блок схема алгоритма Дейкстры.




Схожі:




База даних захищена авторським правом ©lib.exdat.com
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації