Поиск по базе сайта:
Программа элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами» для учащихся 10 11 классов icon

Программа элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами» для учащихся 10 11 классов




Скачати 474.89 Kb.
НазваПрограмма элективного курса «Решение уравнений и неравенств с параметрами» для учащихся 10 11 классов
Сторінка1/3
Дата конвертації31.12.2012
Розмір474.89 Kb.
ТипПрограмма
  1   2   3

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 5» – «Школа здоровья и развития»




Программа элективного курса

«Решение уравнений и неравенств с параметрами»

для учащихся 10 – 11 классов


Составлена учителем математики

высшей квалификационной категории

Семёновой Е.Ю.


2010 год

ВВЕДЕНИЕ

Изучение многих физических процессов и геометрических за­кономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Наиболее трудной и важной частью решения таких задач является исследование процесса в зависимости от параметров.

Задачи с параметрами включены в содержание ЕГЭ по матема­тике и очень часто оказываются не по силам обучающимся. Это, вообще говоря, неудивительно, поскольку у большинства учащихся нет должной свободы в, общении с параметрами.

Появление таких задач на экзамене далеко не случайно, так как с их помощью проверяется техника владения формулами элемен­тарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений (без чего решение задач с параметрами невозможно) и уровень логического мышления учащихся.

Необходимость введения элективного курса «Решение уравне­ний и неравенств с параметрами» обусловлена тем, что практика вступительных экзаменов далеко оторвалась от школы и достаточ­но велика разница между требованиями, которые предъявляет к своему выпускнику школа, и требованиями, которые предъявляет к своему поступающему вуз, особенно вуз высокого уровня. В процессе решения задач с параметрами приобретаются определенные умения исследовательской работы.

Цель курса – научить учащихся методам решения задач с параметрами, помочь преодолеть психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками парамет­ра. С одной стороны, параметр в уравнении следует считать величи­ной известной, а с другой - конкретное значение параметра неиз­вестно. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой – может принимать различные значения. Получается, что параметр - неизвестная известная, переменная постоянная величина.


^ ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

В связи с переходом на профильное обучение возникла необходимость в обеспечении углубленного изучения математики и подготовки учащихся к продолжению образования.

Предлагаемый элективный курс «Решение уравнений и не­равенств с параметрами» составлен на основе авторской программы Д.Ф.Айвазяна с одноименным названием и является предметно-ориенти­рованным и предназначен на два года обучения для реализации в 10-11 классах общеобразовательной школы для расширения теоретических и практический знаний учащихся. Решение уравнений, содержа­щих параметры,  один из труднейших разделов школьного кур­са. Запланированный данной программой для усвоения учащи­мися объем знаний необходим для овладения ими методами ре­шения некоторых классов заданий с параметрами, для обобще­ния теоретических знаний. В процессе решения задач с параметрами приобретаются определенные умения исследовательской работы. Трудности при решении задач с параметрами обусловлены тем, что наличие параметра заставляет решать задачу не по шаблону, а рассматривать различные случаи, при каждом из которых методы решения существенно отличаются друг от друга. Так же необходимо хорошо знать свойства функций и выделять те, которые нужно применять в конкретном случае.

Целью данного курса является изучение избранных классов уравнений с параметрами и научное обоснование методов их решения, а также формирование логического мышления и мате­матической культуры у школьников.

Курс имеет общеобразова­тельное значение, способствует развитию логического мышле­ния учащихся. Программа данного элективного курса ориенти­рована на приобретение определенного опыта решения задач с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана образовательного учреждения. Изу­чение данного курса тесно связано с такими дисциплинами, как алгебра, алгебра и начала анализа, геометрия.

В результате курса учащиеся должны научиться применять теоретические знания при решении уравнений и неравенств с па­раметрами, знать некоторые методы решения заданий с парамет­рами (по определению, по свойствам функций, графически и т. д.)

Данный курс представляется особенно актуальным и совре­менным, так как расширяет и систематизирует знания учащихся, готовит их к более осмысленному пониманию теоретических сведений.

Данный курс имеет существенное образовательное значение для изучения алгебры.

Задачи курса:

  • овладение системой знаний об уравнениях с параметром как о семействе уравнений, что исключительно важно для целостного осмысления свойств уравнений и неравенств, их особенностей;

  • овладение аналитическим и графическими способами решения задач с параметром;

  • приобретение исследовательских навыков в решении задач с параметрами;

  • формированию логического мышления учащихся;

  • вооружению учащихся специальными и общеучебными знаниями, позволяющими им самостоятельно добывать знания по данному курсу;

  • подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ и поступлению в ВУЗы.

Содержание курса предполагает работу с различными ис­точниками математической литературы. Содержание каждой темы элективного курса включает в себя самостоятельную рабо­ту учащихся.

Данный курс рассчитан на 40 часов (по 20 часов в 10 и 11 классах) и содержит следую­щие основные разделы:

Введение. Понятие уравнений с параметрами. Первое зна­комство с уравнениями, содержащими параметр.

  1. Линейные уравнения, неравенства и их системы.

  2. Квадратные уравнения и неравенства.

  3. Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами.

  4. Решение различных видов уравнений и неравенств с па­раметрами.

Задачи программы:

  • познакомиться с понятиями «параметр», «уравнение с параметром», «неравенство с параметром», «система уравнений с параметром», «система неравенств с параметром».

  • различать условия параметрических задач;

  • научиться решать уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств с параметром аналитическим и графическим способами;

  • научиться математически грамотно оформлять решение задач с параметром.

Ожидаемые результаты

Учащийся должен знать:

  • понятие параметра;

  • что значит решить уравнение с параметром, неравенство с параметром, систему уравнений и неравенств с параметром;

  • основные способы решения различных уравнений, неравенств и систем уравнений и неравенств с параметром (линейных и квадратных);

  • алгоритмы решений задач с параметрами;

  • зависимость количества решений неравенств, уравнений и их систем от значений параметра свойства решений уравнений, неравенств и их систем;

  • свойства функций в задачах с параметрами.

Учащийся должен уметь:

  • определять вид уравнения (неравенства) с параметром;

  • выполнять равносильные преобразования;

  • применять аналитический или функционально-графический способы для решения задач с параметром;

  • осуществлять выбор метода решения задачи и обосновывать его;

  • использовать в решении задач с параметром свойства основных функций;

  • выбирать и записывать ответ;

  • решать линейные, квадратные уравнения и неравенства; несложные иррациональные, тригонометрические, показательные и логарифмические уравнения и неравенства с одним параметром при всех значениях параметра.

Учащийся должен владеть:

  • анализом и самоконтролем;

  • исследованием ситуаций, в которых результат принимает те или иные количественные или качественные формы.

Изучение данного курса дает учащимся возможность:

  • повторить и систематизировать ранее изученный материал школьного курса математики;

  • освоить основные приемы решения задач;

  • овладеть навыками построения и анализа предполагаемого решения поставленной задачи;

  • познакомиться и использовать на практике нестандартные методы решения задач;

  • повысить уровень своей математической культуры, творческого развития, познавательной активности;

  • познакомиться с возможностями использования электронных средств обучения, в том числе Интернет-ресурсов;

  • усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;

  • применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр;

  • проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;

  • овладеть исследовательской деятельностью.

Формы работы: лекционно-семинарская, групповая и индивидуальная.

Методы работы: исследовательский и частично-поисковый.

Виды деятельности на занятиях: лекция, беседа, практикум, консультация, работа с компьютером.

При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные методические принципы:

  • принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь;

  • принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы;

  • принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач;

  • принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках.

  • принцип последовательного нарастания сложности.



^ СОДЕРЖАНИЕ ОСНОВНЫХ РАЗДЕЛОВ

Введение. Понятие уравнений с параметрами. Первое знакомство с уравнениями с параметром.

Тема 1. Линейные уравнения, их системы и неравенства с параметром.

Линейные уравнения с параметром. Алгоритм решения ли­нейных уравнений с параметром. Решение линейных уравнений с параметрами. Зависимость количества корней в зависимости от коэффициентов а и b. Решение уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения. Решение уравнений с параметрами, приводимых к линейным. Линейные неравенства с параметрами. Решение линейных неравенств с параметрами. Классификация систем линейных уравнений по количеству решений (неопределенные, однозначные, несовме­стные). Понятие системы с параметрами. Алгоритм решения систем линейных уравнений с параметрами. Параметр и количе­ство решений системы линейных уравнений.

^ Тема 2. Квадратные уравнения и неравенства.

Понятие квадратного уравнения с параметром. Алгоритми­ческое предписание решения Квадратных уравнений с парамет­ром. Решение квадратных уравнений с параметрами. Зависи­мость, количества корней уравнения от коэффициента а и дис­криминанта. Решение с помощью графика. Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Реше­ние квадратных уравнений с параметрами при наличии допол­нительных условий к корням уравнения. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки. Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции. Решение квадратных уравнений с параметром первого типа («для каждого значения параметра найти все ре­шения уравнения»). Решение квадратных уравнений второго типа («найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям»). Решение квадратных неравенств с параметром первого типа. Решение квад­ратных неравенств с параметром второго типа.

^ Тема 3. Аналитические и геометрические приемы реше­ния задач с параметрами.

Использование графических иллюстраций в задачах с пара­метрами. Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств. Использование симметрии аналитических выражений. Метод решения относи­тельно параметра. Применение равносильных переходов при решении уравнений и неравенств с параметром.

^ Тема 4. Решение различных видов уравнений и нера­венств с параметрами.

Решение тригонометрических уравнений, неравенств с па­раметром. Решение логарифмических уравнений, неравенств с параметром. Решение иррациональных уравнений, неравенств с параметром.

^ МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ ПО СОДЕРЖАНИЮ И ПРОВЕДЕНИЮ ЗАНЯТИЙ

Введение. Понятие уравнений с параметрами. Первое знакомство с уравнениями с параметром.

Элективный курс целесообразно начать с вводного (органи­зационного) занятия, где учитель знакомит учащихся с содержа­нием и структурой курса, объемом и видом самостоятельных работ, а также формой итоговой работы, которую они выполнят в конце изучения курса. На первом занятии рекомендуется предложить учащимся темы и обсудить их для выступлений на практических занятиях.

Во второй части вводного занятия рекомендуется перейти к раскрытию понятий уравнения с параметром как семейства урав­нений, равносильности уравнений, понятия уравнения с парамет­ром, рассмотреть примеры задач, приводящих к уравнению с па­раметром и решения некоторых уравнений с параметром.

^ Тема 1. Линейные уравнения, их системы и неравенства с параметром.

При изучении темы на уроке дается понятие линейных урав­нений с параметром, рассматриваются три случая зависимости количества корней от значения коэффициентов а и b. Здесь же необходимо начать решение уравнений с параметрами при на­личии дополнительных условий к корням уравнения.

На последующих уроках необходимо рассмотреть понятие линейных неравенств с параметрами, на практическом занятии необходимо повторить свойства линейных неравенств и исполь­зовать их при решении линейных неравенств с параметрами.

Ввести классификацию систем линейных уравнений по ко­личеству решений (неопределенные, однозначные), дать поня­тие системы с параметрами и алгоритм решения систем линей­ных уравнений с параметрами.

^ Тема 2. Квадратные уравнения и неравенства.

Данная тема – самая главная и основная тема курса, именно здесь отводится больше часов для изучения, на уроках необхо­димо ввести понятие квадратного уравнения с параметром, об­ратив внимание на неравенство нулю коэффициента а, рассмот­реть зависимость корней уравнения от коэффициента а и дис­криминанта, записать алгоритм решения квадратных уравнений с параметром. На практическом занятии целесообразно рас­смотреть решение квадратных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения.

В содержании данной темы раскрываются теоретические сведения о нахождении корней квадратного трехчлена в зависи­мости от значений параметров. Учащиеся должны представлять, как может проходить график параболы в том или ином случае.

^ Тема 3. Аналитические и геометрические приемы и ме­тоды решения задач с параметрами.

На этих уроках нужно рассмотреть различные приемы и методы решения уравнений с параметрами. Учащиеся должны понимать, что красота и краткость решения зачастую зависят от выбора пути решения задания. Необходимо подчеркнуть, какие именно задачи удобнее всего решать графическим методом.

^ Тема 4. Решение различных видов уравнений и нера­венств с параметрами.

Обобщение и систематизация знаний учащихся в ходе решения задач различного типа. Эти уроки предполагается проводить в виде практикумов.


^ КАЛЕНДАРНО-ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ

уро­ка

Тема урока

Кол-во часов

Элементы

содержания

Фор­мы контроля (измерите­ли)

Дата

(неделя)

10 кл.

11 кл.

10 кл.

11 кл.

10 кл.

11 кл.

Введение (1 час)

1




Понятие

уравнения с параметрами

1




Понятие уравнений с параметрами Первое знакомство с уравнениями с параметром

Практикум

1




^ Линейные уравнения, их системы и неравен­ства с параметрами (12 часов)

2




Решение линейных

уравнений с параметрами

1




Линейные уравнения с параметром

Алгоритм решения ли­нейных уравнений с параметром

Тест

1




3




Решение линейных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнений

1




Зависимость количества корней от значения коэффициен­тов а и b

Решение линейных уравнений с параметрами

Решение уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения

Самостоятельная

работа

2




4

1

Решение уравнений, приводимых к линейным

1

1

Решение уравнений, приводимых к линейным

Практикум

2

1

5




Решение систем линейных уравнений (с двумя переменными) с параметрами

1




Классификация систем линейных уравнений по количеству решений (неопределенные, однозначные, несовместные)

Практикум

3




6

2

Решение систем линейных уравнений (с двумя переменными) с параметрами

1

1

Понятие системы линейных уравнений с параметрами Алгоритм решения системы линейных уравнений с параметрами

Параметр и количество решений системы линейных уравнений

Самостоятельная

работа

3

1

7




Решение линейных неравенств с параметра­ми

1




Линейные неравенства с параметрами

Практикум

4




8

3

Решение линейных неравенств с параметра­ми с помощью графической интерпретации

1

1

Решение линейных неравенств с параметра­ми

Практикум


4

2

9

4

Решение линейных неравенств, содержащих параметры

1

1




Самостоятельная

работа

5

2

^ Квадратные уравнения и неравенства (12 часов)

10




Решение квадратных уравнений с параметра­ми

1




Понятие квадратного уравнения с параметром. Решение квадратных уравнений с параметрами.

Решение квадратных уравнений с параметрами первого типа («для каждого значения параметра найти все решения уравнения»)

Практикум

5




11




Использование теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметрами

1




Применение теоремы Виета при решении квадратных уравнений с параметром. Расположение корней квадратичной функции относительно заданной точки

Тест

6




12

5

Решение уравнений с параметрами, приводимых к квадратным

1

1

Решение квадратных уравнений с параметрами при наличии дополнительных условий к корням уравнения

Практикум

6

3

13

6

Расположение корней квадратного уравнения в зависимости от параметра

1

1

Решение квадратных уравнений второго типа («найти все значения параметра, при каждом из которых уравнение удовлетворяет заданным условиям»)

Самостоятельная

работа

7

3

14




Взаимное расположение корней двух квадратных уравнений

1




Задачи, сводящиеся к исследованию расположения корней квадратичной функции

Практикум

7




15




Решение квадратных неравенств с параметрами

1




Решение квадратных неравенств с параметром первого типа.

Решение квадратных неравенств с параметром второго типа

Практикум

8




16

7

Решение неравенств методом интервалов

1

1

Тест

8

4

17

8

Нахождение заданного количества решений уравнения или неравенства

1

1

Зависимость количества корней уравнения от коэффициента а и дискриминанта

Самостоятельная

работа

9

4

^ Аналитические и геометрические приемы решения задач с параметрами (10 часов)

18




Графический метод решения задач с параметрами

1




Использование графических иллюстраций в задачах с параметрами

Практикум

9




19

9

Графический метод решения задач с параметрами

1

1




Тест

10

5




10

Применение понятия «пучок прямых на плоскости»




1




Практикум




5




11

Использование симметрии аналитических выражений




1

Использование симметрии аналитических выражений

Самостоятельная

работа




6




12

Решение относительно параметра




1

Метод решения относительно параметра

Практикум




6

20

13

Область определения помогает решать задачи с параметром

1

1

Использование ограниченности функций, входящих в левую и правую части уравнений и неравенств

Практикум

10

7




14

Использование метода оценок и экстремальных свойств функции




1




Практикум




7




15

Равносильность при решении задач с параметрами




1

Применение равносильных переходов при решении уравнений и неравенств с параметром

Тест




8

^ Решение различных видов уравнений и неравенств с параметрами (5 часов)




16

Решение рациональных уравнений и неравенств с параметрами




1




Практикум




8




17

Решение тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами




1

Тригонометрические уравнения и неравенства с параметрами

Практикум




9




18

Решение логарифмических уравнений и неравенств с параметрами




1

Логарифмические уравнения и неравенства с параметрами

Тест




9




19

Решение показательных уравнений и неравенств с параметрами




1

Показательные уравнения и неравенства с параметрами

Практикум




10




20

Решение иррациональных уравнений и неравенств с параметрами




1

Иррациональные уравнения и неравенства с параметрами

Практикум




10

^ СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

Введение. Понятие «уравнения с параметрами»

Цели: познакомить с понятиями параметр, задача с пара­метром; формировать осознанный подход к решению задач с параметром; развивать исследовательскую деятельность уча­щихся.

Уравнение с параметром – это, по сути дела, краткая запись бесконечного семейства уравнений. Каждое из уравнений се­мейства получается из данного уравнение с параметром при конкретном значении параметра. Поэтому задачу решения урав­нения с параметром можно сформулировать следующим обра­зом: решить уравнение с параметром f(х; а) = 0 – это решить семейство уравнений, получающихся из уравнения f(х; а) = 0 при любых действительных значениях параметра.

Ясно, что выписать каждое уравнение из бесконечного се­мейства уравнений невозможно, но тем не менее каждое урав­нение из бесконечного семейства должно быть решено. Сделать это, например, можно, если по некоторому целесообразному признаку разбить множество всех значений параметра - множе­ство действительных чисел или множество значений, заданное в условии задачи, - на подмножества, а затем заданное уравнение решить на каждом- из этих подмножеств.

Чтобы разбить множество значений параметра на подмноже­ства, полезно воспользоваться теми значениями параметра, при которых или при переходе через которые происходит качест­венное изменение уравнения. Такие значения параметра можно назвать контрольными или особыми. Искусство решения урав­нения с параметрами как раз и состоит в том, чтобы уметь нахо­дить контрольные значения параметра.

Каковы основные типы задач с параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения пара­метра (параметров), либо для значений параметра, принадлежа­щих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «За­дачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределя­ет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности,

для которых требуется определить количество решений в зави­симости от значения параметра (параметров).

Обращаем внимание на то, что при решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, нера­венства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является един­ственным разумным путем получения ответа при решении зада­чи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при ко­торых указанные уравнения, неравенства, их системы и сово­купности имеют заданное число решений (в частности, не име­ют или имеют бесконечное множество решений).

Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество ре­шений удовлетворяет заданным условиям в области определе­ния.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмно­жеством множества решений второго уравнения и т. д.

Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляю­щая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах от­носится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром - задачи с од­ной неизвестной и одним параметром.

  1   2   3



Схожі:




База даних захищена авторським правом ©lib.exdat.com
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації