Поиск по базе сайта:
Функции комплексной переменной Вопрос icon

Функции комплексной переменной Вопрос




Скачати 112.59 Kb.
НазваФункции комплексной переменной Вопрос
Дата конвертації16.07.2013
Розмір112.59 Kb.
ТипДокументи

Глава 12. Функции комплексной переменной

Вопрос. Определение производной от функции комплексной переменной и её геометрический смысл. Вывести условия Коши-Римана.

Ответ.

Представим себе, что есть две плоскости комплексных переменных, одна  плоскость комплексной переменной , другая  плоскость комплексной переменной (см. рис. 12.1).



Рис. 12.1

Правило, которое каждой точке z из некоторой области G ставит в соответствие точку w, называется функцией комплексной переменной и обозначается .

Подчеркнем, что и аргумент z и значения функции w  комплексные переменные. Так как и , то задание сводится фактически к заданию двух функций и от двух переменных х и у.

Основные понятия теории функций  предел функции, непрерывность функции и соответствующие им теоремы переносятся на функции комплексной переменной без изменений. Отличия начинаются в понятии производной.

^ Производная функции комплексной переменной

Пусть задана функция . Говорят, что у существует производная в точке z, если существует

.

Более подробно это означает, что

.

Отметим, что отсюда следует, что при приближении к точке z по любой траектории отношение стремится к одной и той же величине .

Определение. Если имеет производную в каждой точке области G, то она называется аналитической в области G.

Выясним геометрический смысл производной функции комплексной переменной.



Рис. 12.2

Рассмотрим на плоскости z отрезок, соединяющий точки z и z +z (см. рис. 12.2). Тогда длина отрезка есть , а arg z есть угол, который этот отрезок образует с осью ОХ. Аналогично, на плоскости w рассмотрим отрезок, соединяющий точки и . Его длина есть |w|, а arg w есть угол, который этот отрзок образует с осью OU. Отсюда следует, что .

Вспоминая выражение для производной, можем записать

.

Отсюда

.

Отношение показывает, насколько длина отрезка w больше длины отрезка z. Таким образом, есть коэффициент растяжения бесконечно малого отрезка при его отображении с плоскости z на плоскость w.

Далее, так как

,

то есть угол поворота бесконечно малого отрезка при его отображении с плоскости z на плоскость w. Заметим, что этот угол поворота не зависит от , то есть от направления отрезка z.



Рис. 12.3

Пусть есть аналитическая в области G функция. Возьмем в области G некоторую фигуру, скажем, треугольник (см. рис. 12.3). Во что он превратится при отображении на плоскость w функцией ? Конечно, его стороны перестанут быть прямыми, они растянутся и исказятся, но  самое главное  в новой фигуре сохранятся значения углов в вершинах треугольника, так как соответствующие отрезки повернутся на один и тот же угол. Поэтому получившаяся фигура будет все-таки похожа на треугольник. Поэтому отображение, осуществляемое аналитической функцией, называется конформным (то есть сохраняющим форму) отображением.

^ Условия Коши-Римана

Пусть у функции существует производная в точке z. Будем приближаться к точке z двумя путями (см. рис. 12.4).



Рис. 12.4

Сначала подойдем к точке , двигаясь параллельно оси ОХ. Тогда и . Так как

,

то

.

Теперь будем приближаться к точке z, двигаясь параллельно оси OY. Тогда , и

.

Но значение должно быть одним и тем же, независимо от траектории приближения к точке z. Поэтому должно выполняться условие

 = ,

то есть должны выполняться условия

; . (1)

Эти условия называются условиями Коши-Римана.

Вопрос. Определение интеграла от функции комплексного переменного. Основное неравенство на интеграл. Доказать, что интеграл от аналитической функции не зависит от пути.

^ Ответ

Интегралы от функций комплексной переменной



Рис. 12.5

Пусть  функция комплекс­ной переменной z и С  некоторая кривая на плоскости z. Разобьем всю кривую С на кусочки точками z1, z2, …,zn-1, так, что ее начало есть точка z0, а ее конец  точка zn. На каждом кусочке выберем произвольным образом среднюю точку i и составим интегральную сумму

, .

Пусть . Если существует и этот предел не зависит от

способа разбиения кривой С на кусочки и от способа выбора средней точки, то он называется интегралом от по кривой С и обозначается символом

.

Получим сразу одно неравенство, которым мы в дальнейшем будем часто пользоваться. Так как есть длина отрезка, соединяющего точки zi и zi+1, то

.

Но заметим, что не превосходит длины lC кривой С, так что и поэтому

,

где lC  длина кривой С.

Пусть теперь  аналитическая функция в некоторой односвязной области G и все кривые С лежат внутри этой области. Тогда интегралы от этой функции обладают рядом хороших свойств.

Теорема 1. Если аналитична в односвязной области G, то по всем кривым С, лежащим в G, зависит только от положения начала и конца кривой т не зависит от вида этой кривой.

Доказательство. Так как и , то



.

Таким образом, интеграл от функции комплексной переменной свелся к двум криволинейным интегралам. Такое сведение, кстати, может служить и для вычисления интеграла от функции комплексной переменной.

А теперь вспомним, что криволинейный интеграл второго рода вида не зависит от пути, если выполняется условие . У нас же в первом интеграле , , так что

; ,

и условие независимости интеграла от пути превращается во второе условие Коши-Римана. Аналогично, во втором интеграле , , так что

; ,

и снова условие независимости от пути превратилось в первое условие Коши-Римана. 

Замечание. В силу этой теоремы, для аналитических функций в односвязных областях можно писать не , а , где z0 и z1  начальная и конечная точки кривой, по которой ведется интегрирование.

Вопрос. Определение равномерной сходимости последовательности функций и функционального ряда. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости.

^ Функциональные ряды. Равномерная сходимость

Ниже будут изучены два математических объекта. Объект первый это так называемые функциональные ряды. Пусть , , , …  функции комплексной переменной z. Ряд



носит название функционального ряда.

Объект второй  это последовательность функций, сходящаяся к некоторой функции. Пусть , , , … есть последовательность функций комплексной переменной z и существует .

Эти два объекта очень тесно связаны между собой. Действительно, пусть дан функциональный ряд



и его сумма равна . Введем последовательность функций

.

Тогда в области сходимости нашего ряда.

Если наоборот, задана последовательность функций , , , … , то, вводя функции

, ,

мы получим, что



и

.

Поэтому все теоремы, которые будут доказываться ниже, могут быть сформулированы в двух вариантах  для функциональных рядов и для последовательностей функций. Мы будем доказывать лишь один вариант, а второй приводить без доказательства.

Основным для всего дальнейшего является понятие равномерной сходимости.

Пусть имеется последовательность функций , которая в каждой точке области G сходится к некоторой функции , то есть существует . Это означает, что

.

Самая главная неприятность в этой, так называемой поточечной сходимости, заключается в том, что N зависит не только от , но и от z, и меняется от точки к точке области G. Эта зависимость от z и мешает доказывать все теоремы.

Чтобы обойти эту трудность и вводится новое понятие  равномерная сходимость функций и функциональных рядов.

Определение. Говорят, что последовательность функций сходится к предельной функции равномерно в области G, если

.

Равномерную сходимость обозначают так , или так .

Обратите внимание на то, куда переместился квантор по сравнению с поточечной сходимостью.

Определение. Говорят, что функциональный ряд сходится равномерно в области G и его сумма равна , если

,

или, что то же самое,

.

^ Признак Вейерштрасса.

Признак Больцано-Коши не является рабочим признаком, но с его помощью доказываются другие признаки, которые уже являются рабочими. Рассмотрим один из них.

Теорема. Если существуют такие неотрицательные действительные числа , что

1.  ,

2. ,

то ряд сходится равномерно в области G.

Доказательство.

Так как ряд сходится, то, по признаку Больцано-Коши для числовых рядов,

.

Но тогда имеем

,

и, по признаку Больцано-Коши равномерной сходимости отсюда следует, что ряд сходится равномерно в области G.

Терминология. Говорят, что ряд мажорируется рядом , или, что ряд является мажорантой для ряда .

Замечание. При практическом применении этого признака неизбежно встает вопрос, откуда брать числа сп. Один из вариантов  брать сп в виде . Сам супремум ищется обычными методами дифференциального исчисления.

^ Вопрос. Доказать, что область сходимости степенного ряда есть круг.

Ответ.

Степенные ряды. Область сходимости

Рассмотрим теперь частный случай функциональных рядов, когда отдельные слагаемые имеют вид , где сk и а  комплексные числа. Получающиеся ряды имеют вид



и называются степенными рядами.

Найдем, прежде всего, область сходимости степенного ряда.

Теорема 1. Для всякого степенного ряда существует число такое, что степенной ряд абсолютно сходится при и расходится при .

Таким образом, область сходимости степенного ряда есть круг с центром в точке а и радиусом R, который называется кругом сходимости. Число R называется радиусом сходимости.

Отметим еще, что общего ответа на вопрос о сходимости ряда на границе круга сходимости, то есть при , дать нельзя.

Доказательство. Обозначим через Z множество тех значений z, при которых степенной ряд сходится (не обязательно абсолютно). Это множество не пусто, так как, например, . Обозначим через ^ R величину

.

Возьмем любое z, у которого . Тогда, по свойствам супремума, существует число , такое, что . Для этого z0 степенной ряд сходится и, следовательно, его общий член стремится к нулю:

.

Так как всякая сходящаяся последовательность ограничена, то существует такое действительное число М, что . Но тогда

.

Но величина , и поэтому

.

Поэтому сходится и ряд , то есть степенной ряд сходится абсолютно.

Если же z удовлетворяет условию , то и поэтому для него степенной ряд расходится. 

Замечание. Если R = 0, то степенной ряд сходится лишь в точке z = а. Если же R = +, то степенной ряд сходится на всей комплексной плоскости.

Вопрос. Теоремы (2 штуки), определяющие радиус сходимости степенного ряда.

^ Ответ.

Рассмотрим теперь вопрос о нахождении радиуса сходимости ряда R.

Теорема 2. Если существует , то

Доказательство. Возьмем любое z и применим для исследования сходимости ряда признак Даламбера. Вычисляя указанный в этом признаке предел, получим

.

Поэтому при D < 1 и, по признаку Даламбера, степенной ряд сходится; если же , то D > 1 и, по тому же признаку, степенной ряд расходится. 

Теорема 3. Если существует , то .

Доказательство. Возьмем любое z и применим для исследования сходимости ряда признак Коши. Вычисляя указанный в этом признаке предел, получим

.

Поэтому при с < 1 и, по признаку Коши, степенной ряд сходится; если же , то с > 1 и, по тому же признаку, степенной ряд расходится. 

В общем случае, радиус сходимости R степенного ряда может быть вычислен по формуле

, ,

которая называется формулой Коши-Адамара. Мы не Булем ее доказывать из-за большой громоздкости доказательства.

Вопрос. Перемножение и деление степенных рядов.

Ответ.

^ Операции над степенными рядами

Пусть нам даны два степенных ряда и (для простоты, рассматривается случай, когда а = 0). Рассмотрим лишь простейшие операции над этими рядами.

^ Сложение и вычитание.

Достаточно очевидно, что

=.

Умножение.

Рассмотрим произведение наших рядов. Имеем

=

.

Составим бесконечную матрицу из попарных произведений членов наших рядов



Суммируя элементы этой матрицы по диагоналям, получим

=

,

где .

Таким образом, в результате перемножения двух степенных рядов снова получается степенной ряд.

Деление.

Будем искать частное двух степенных рядов также в виде степенного ряда, считая а0  0, то есть

.

Это означает, что





Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, будем иметь:

при : , откуда находится ;

при : , откуда находится ;

при : , откуда находится .

Так рекуррентно можно найти любое количество коэффициентов сk. Общая рекуррентная формула имеет вид

.

Из этой формулы становится ясным смысл требования а0  0.

Другие, более сложные операции над степенными рядами мы рассматривать не будем.






Схожі:




База даних захищена авторським правом ©lib.exdat.com
При копіюванні матеріалу обов'язкове зазначення активного посилання відкритою для індексації.
звернутися до адміністрації